Questão 25 (2º semestre) da UFG 2009

Question

Leia o texto abaixo.

– Que gigantes? – disse Sancho Pança.
– Aqueles que ali vês – respondeu o amo – de braços tão compridos, que alguns os têm de quase duas léguas.
– Olhe bem Vossa Mercê – disse o escudeiro – que aquilo não são gigantes, são moinhos de vento; e os que parecem braços não são senão as velas, que tocadas do vento fazem trabalhar as mós.
– Bem se vê – respondeu D. Quixote – que não andas corrente nisto das aventuras; são gigantes, são; e, se tens medo, tira-te daí, e põe-te em oração enquanto eu vou entrar com eles em fera e desigual batalha.

CERVANTES, Miguel. Dom Quixote de la Mancha. Tradução Viscondes de Castilho e Azevedo. São Paulo: Nova Cultural, 2002. Cap. VIII. p. 59-60.

Na sequência da história de Cervantes, D. Quixote arremeterá contra o moinho de vento, quebrando a sua lança e caindo ao chão, para desespero de Sancho Pança.

Considere, nessa situação ficcional, um moinho de vento contendo seis velas (ou pás) iguais, como apresentado na figura abaixo. A vela que será atingida pela lança (reticulada na figura), leva 30 segundos para dar uma volta completa, em sentido anti-horário, com velocidade constante, a partir da posição inicial em TP.

Esquema de um moinho de vento com seis pás simétricas fixadas em um centro T. A pá à direita, na posição horizontal, está sombreada e contém o segmento TP tracejado horizontalmente, com P em sua extremidade direita. A linha horizontal que passa por TP está a uma altura de 3 m do solo. A distância horizontal entre a linha vertical que passa pelo centro T e o ponto P mede 2 m.

Com base no exposto, o menor tempo decorrido até que D. Quixote acerte, com sua lança, o ponto P da vela a uma altura de 2 m do solo, antes dele completar uma volta é

A
17 s.
B
17,5 s.
C
18 s.
D
18,5 s.
E
19 s.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 (2º semestre) da UFG 2009

2º semestre · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Leia o texto abaixo.

– Que gigantes? – disse Sancho Pança.
– Aqueles que ali vês – respondeu o amo – de braços tão compridos, que alguns os têm de quase duas léguas.
– Olhe bem Vossa Mercê – disse o escudeiro – que aquilo não são gigantes, são moinhos de vento; e os que parecem braços não são senão as velas, que tocadas do vento fazem trabalhar as mós.
– Bem se vê – respondeu D. Quixote – que não andas corrente nisto das aventuras; são gigantes, são; e, se tens medo, tira-te daí, e põe-te em oração enquanto eu vou entrar com eles em fera e desigual batalha.

CERVANTES, Miguel. Dom Quixote de la Mancha. Tradução Viscondes de Castilho e Azevedo. São Paulo: Nova Cultural, 2002. Cap. VIII. p. 59-60.

Na sequência da história de Cervantes, D. Quixote arremeterá contra o moinho de vento, quebrando a sua lança e caindo ao chão, para desespero de Sancho Pança.

Considere, nessa situação ficcional, um moinho de vento contendo seis velas (ou pás) iguais, como apresentado na figura abaixo. A vela que será atingida pela lança (reticulada na figura), leva 30 segundos para dar uma volta completa, em sentido anti-horário, com velocidade constante, a partir da posição inicial em TP.

Esquema de um moinho de vento com seis pás simétricas fixadas em um centro T. A pá à direita, na posição horizontal, está sombreada e contém o segmento TP tracejado horizontalmente, com P em sua extremidade direita. A linha horizontal que passa por TP está a uma altura de 3 m do solo. A distância horizontal entre a linha vertical que passa pelo centro T e o ponto P mede 2 m.

Com base no exposto, o menor tempo decorrido até que D. Quixote acerte, com sua lança, o ponto P da vela a uma altura de 2 m do solo, antes dele completar uma volta é

A
17 s.
B
17,5 s.
C
18 s.
D
18,5 s.
E
19 s.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Tome T como origem. O ponto P começa em (2, 0), a 3 m do solo, e gira em sentido anti-horário numa circunferência de raio TP = 2 m. Sua altura em relação ao solo é h = 3 + 2\,\sen\theta, em que \theta é o ângulo percorrido.

Queremos h = 2:

3 + 2\,\sen\theta = 2 \Rightarrow \sen\theta = -\tfrac{1}{2}

Em uma volta (0 \le \theta < 360^\circ), isso ocorre em \theta = 210^\circ e \theta = 330^\circ. O menor tempo corresponde a 210^\circ.

Como a velocidade é constante e a volta completa leva 30 s, a velocidade angular é \dfrac{360^\circ}{30\ \text{s}} = 12^\circ/\text{s}.

O tempo para percorrer 210^\circ é:

t = \frac{210}{12} = 17{,}5\ \text{s}

Pela proporção: \dfrac{210}{360}\cdot 30 = 17{,}5 s, o mesmo resultado.

O outro instante possível, 330^\circ, daria 27{,}5 s, que é maior.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhum ângulo em que a altura vale 2 m; é um valor aproximado sem base no cálculo.
CEquivale a 216^\circ, ângulo que não resulta de \sen\theta=-1/2.
DEquivale a 222^\circ, valor sem relação com a equação trigonométrica.
EEquivale a 228^\circ, valor sem relação com a equação trigonométrica.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Questão 25 no caderno 1ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2009 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗