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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 da UFG 2007

Prova objetiva · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Uma empresa de engenharia deseja construir uma estrada ligando os pontos A e B, que estão situados em lados opostos de uma reserva florestal, como mostra a figura abaixo.

Esquema da reserva florestal contornada pelos pontos A, C e B. Uma reta horizontal passa pelos pontos A, C e D. Do ponto C, parte o segmento CB contornando a reserva, formando o ângulo alfa com a reta AC. Do ponto D, uma reta pontilhada desce perpendicularmente até B, formando um ângulo reto com a reta AD. Um segmento pontilhado liga diretamente A a B cruzando a reserva.

A empresa optou por construir dois trechos retilíneos, denotados pelos segmentos AC e CB, ambos com o mesmo comprimento. Considerando que a distância de A até B, em linha reta, é igual ao dobro da distância de B a D, o ângulo \alpha, formado pelos dois trechos retilíneos da estrada, mede

  1. A
    110^\circ
  2. B
    120^\circ
  3. C
    130^\circ
  4. D
    140^\circ
  5. E
    150^\circ
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Resolução comentada

Na figura, A, C e D estão na mesma reta, e BD é perpendicular a ela. Então o triângulo ABD é retângulo em D.

Como AB = 2\cdot BD, o cateto BD é metade da hipotenusa AB. Isso vale para o ângulo de 30^\circ oposto a esse cateto:

\sen(\hat{A}) = \frac{BD}{AB} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{A} = 30^\circ

Como AC = CB, o triângulo ACB é isósceles com base AB. Os ângulos da base são iguais:

\hat{A} = \hat{B} = 30^\circ

A soma dos ângulos internos do triângulo ACB é 180^\circ. O ângulo \alpha é o ângulo interno em C, formado pelos trechos AC e CB:

\alpha = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ

Conferindo na figura: o ângulo \alpha está entre CA e CB, ou seja, é o interno do triângulo ACB, obtuso, como aparece no desenho. Isso também confere com o ângulo externo \hat{BCD} = 60^\circ, que no triângulo BCD dá \hat{CBD}=30^\circ.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão decorre de nenhum ângulo do problema; ignora que o ângulo A é 30^\circ.
  • CValor sem relação com os ângulos de 30^\circ e 60^\circ da figura.
  • DResultaria de ângulos da base de 20^\circ, o que não vale aqui.
  • EResultaria de ângulos da base de 15^\circ, o que não vale aqui.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Ver como caiu na prova Questão 26 no caderno 1ª etapa da UFG 2007

Fonte: UFG 2007 · 1ª etapa. Prova oficial ↗