Questão 7 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Deseja-se transportar 12 bolas de boliche esféricas de mesmo raio R em uma caixa em forma de paralelepípedo reto retângulo, de modo que as bolas fiquem tangentes entre si, e aquelas situadas na extremidade de uma mesma fileira tangenciem as faces da caixa. Além disso, nenhuma bola tangencia faces opostas da caixa. Lembre-se de que a caixa terá de ser tampada. Sabendo que o volume das bolas ocupa \pi/6 do volume da caixa, determine, em função de R, as dimensões da caixa.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

1º semestre · 2º dia · Matemática: Esfera

Deseja-se transportar 12 bolas de boliche esféricas de mesmo raio R em uma caixa em forma de paralelepípedo reto retângulo, de modo que as bolas fiquem tangentes entre si, e aquelas situadas na extremidade de uma mesma fileira tangenciem as faces da caixa. Além disso, nenhuma bola tangencia faces opostas da caixa. Lembre-se de que a caixa terá de ser tampada. Sabendo que o volume das bolas ocupa \pi/6 do volume da caixa, determine, em função de R, as dimensões da caixa.

(5,0 pontos)

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Denote-se por x, y, z as dimensões da caixa. Sabe-se que o volume da caixa é V_C = x\,y\,z e o volume de cada esfera de raio R é

V_E = \frac{4}{3}\pi R^3.

O volume das 12 esferas ocupam \frac{\pi}{6} do volume da caixa, isto é,

16\,\pi\,R^3 = \frac{\pi}{6}\,x\,y\,z. \tag{1}

Colocando-se N esferas ao longo de cada dimensão da caixa, a mesma terá ao longo dessa dimensão comprimento de 2NR, pois cada esfera tem diâmetro 2R.
Denotando-se por N_x, N_y, N_z, respectivamente, o número de esferas colocadas ao longo das dimensões x, y, z, conclui-se que

\begin{aligned} x &= 2\,R\,N_x, \\ y &= 2\,R\,N_y, \\ z &= 2\,R\,N_z. \end{aligned}

Logo, substituindo-se estas expressões na equação (1), obtêm-se N_x\,N_y\,N_z = 12 Como cada esfera não tangencia simultaneamente faces opostas da caixa, o número de esferas, em cada dimensão não pode ser igual a um. Portanto, conclui-se que N_x\,N_y\,N_z = 12 = 2 \times 2 \times 3 e as dimensões da caixa são 4\,R, 4\,R e 6\,R. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Como as bolas ficam tangentes entre si e as das extremidades tocam as faces, as bolas formam um empilhamento em grade com a\times b\times c bolas, e abc=12. Cada fileira de n bolas ocupa 2nR (cada bola tem diâmetro 2R). Logo, a caixa mede 2aR\times 2bR\times 2cR.

A condição sobre o volume é satisfeita por qualquer grade desse tipo:

\frac{V_{bolas}}{V_{caixa}}=\frac{12\cdot\frac{4}{3}\pi R^3}{8abc\,R^3}=\frac{16\pi R^3}{96R^3}=\frac{\pi}{6}.

Portanto o que determina a caixa é a restrição de que nenhuma bola tangencie faces opostas. Se houvesse apenas uma bola numa direção (ou seja, a, b ou c igual a 1), essa bola tocaria as duas faces opostas daquela direção. Então a,b,c\ge 2.

Fatorando, 12=2\cdot2\cdot3. Essa é a única decomposição de 12 em três fatores inteiros todos maiores ou iguais a 2. As outras, como 1\cdot3\cdot4, 1\cdot2\cdot6 e 1\cdot1\cdot12, têm algum fator 1.

Assim, a grade é 2\times2\times3 e as dimensões são 2\cdot2R=4R, 2\cdot2R=4R e 2\cdot3R=6R.

A caixa tem então base quadrada de lado 4R e altura (ou comprimento) 6R, com volume 96R^3, o que confere com o cálculo acima.

As dimensões da caixa são 4R\times4R\times6R.

Assuntos: Esfera, Prismas e paralelepípedos.

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Questão 7 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗