Questão 6 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Para fazer um projeto da barragem de uma usina hidrelétrica de 19{,}8\text{ m} de altura, o projetista considerou um pequeno volume de água \Delta V caindo do topo da barragem a uma velocidade inicial de 2\text{ m/s} sobre as turbinas na base da barragem. Considerando o exposto, calcule:

Dados:
Densidade da água: \rho = 1\text{ g/cm}^3
g = 10\text{m/s}^2

a) a velocidade do volume de água \Delta V ao chegar à turbina na base da barragem; (2,0 pontos)

b) a potência útil da usina, se sua eficiência em todo o processo de produção de energia elétrica for de 30\%, para uma vazão de água de 120 \times 10^6\text{ cm}^3\text{/s} (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

1º semestre · 2º dia · Física: Potência e rendimento

Para fazer um projeto da barragem de uma usina hidrelétrica de 19{,}8\text{ m} de altura, o projetista considerou um pequeno volume de água \Delta V caindo do topo da barragem a uma velocidade inicial de 2\text{ m/s} sobre as turbinas na base da barragem. Considerando o exposto, calcule:

Dados:
Densidade da água: \rho = 1\text{ g/cm}^3
g = 10\text{m/s}^2

a) a velocidade do volume de água \Delta V ao chegar à turbina na base da barragem; (2,0 pontos)

b) a potência útil da usina, se sua eficiência em todo o processo de produção de energia elétrica for de 30\%, para uma vazão de água de 120 \times 10^6\text{ cm}^3\text{/s} (3,0 pontos)

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Por conservação da energia mecânica, tem-se que

E_{topo} = E_{fundo} \rightarrow \frac{1}{2} mv_{fundo}^2 = \frac{1}{2} mv_{topo}^2 + mgh \rightarrow v_{fundo}^2 = v_{topo}^2 + 2 \cdot g \cdot h

v_{fundo} = \sqrt{2^2 + 2 \cdot 10 \cdot 19{,}8} \text{ m/s} = \sqrt{400} \text{ m/s} = 20 \text{ m/s}

(2,0 pontos)

OBSERVAÇÃO: Resultados parciais foram parcialmente pontuados. Soluções alternativas conceitualmente corretas também foram consideradas.

b) A energia mecânica do volume de água \Delta V, de massa M = \rho \cdot \Delta V, no topo da barragem, considerando-se a base da barragem como referencia, é:

E_l = E_c + U_g = \frac{M v_{topo}^2}{2} + M \cdot g \cdot h = M \left( \frac{v_{topo}^2}{2} + g \cdot h \right) \rightarrow E_l = \rho \cdot \Delta V \cdot \left( \frac{1}{2} v_{topo}^2 + g \cdot h \right).

Como a vazão é \varphi = \frac{\Delta V}{\Delta t} \rightarrow \Delta t = \frac{\Delta V}{\varphi}, tem-se que a potência total da usina para uma eficiência de 30% é dada por:

P = \frac{\Delta E}{\Delta t} = \frac{0{,}3 \cdot E_l}{\Delta t} = \frac{0{,}3 \cdot \varphi \cdot \rho \cdot \Delta V \cdot \left( \frac{1}{2} v_{topo}^2 + g \cdot h \right)}{\Delta V} = 0{,}3 \cdot \rho \cdot \varphi \cdot \left( \frac{1}{2} v_{topo}^2 + g \cdot h \right) = 0{,}3 \cdot \rho \cdot \varphi \cdot \frac{1}{2} v_{fundo}^2,

segue então que: P = 0{,}3 \cdot 10^3 \cdot 120 \cdot \left( \frac{1}{2} 2^2 + 10 \cdot 19{,}8 \right) \text{ J/s} = 7200 \text{ kW} = 7{,}2 \text{ MW}

(3,0 pontos)

OBSERVAÇÃO: Resultados parciais foram parcialmente pontuados. Soluções alternativas conceitualmente corretas também foram consideradas. Os itens a) e b) foram pontuados de forma independente.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Desprezando o atrito, a energia mecânica da água se conserva na queda. A energia potencial gravitacional somada à cinética no topo é igual à cinética na base:

\frac{mv_0^2}{2}+mgh=\frac{mv^2}{2}\ \Rightarrow\ v^2=v_0^2+2gh

Substituindo v_0=2\ \text{m/s}, g=10\ \text{m/s}^2 e h=19{,}8\ \text{m}:

v^2=2^2+2\cdot10\cdot19{,}8=4+396=400

v=20\ \text{m/s}

v = 20 m/s

b) Primeiro converto a vazão para o SI:

120\times10^6\ \text{cm}^3\text{/s}=120\ \text{m}^3\text{/s}

Como \rho=1\ \text{g/cm}^3=1000\ \text{kg/m}^3, a massa de água que passa por segundo é:

\frac{m}{t}=\rho\cdot\text{vazão}=1000\cdot120=1{,}2\times10^5\ \text{kg/s}

A energia disponível por segundo (potência total) é a energia cinética que a água tem ao chegar à turbina, ou seja, o que ela tinha no topo (potencial mais cinética inicial). Usando a velocidade do item (a):

P_{total}=\frac{1}{2}\frac{m}{t}v^2=\frac{1}{2}\cdot1{,}2\times10^5\cdot400=2{,}4\times10^7\ \text{W}

Conferindo pelo topo: 1{,}2\times10^5\,(10\cdot19{,}8+2)=1{,}2\times10^5\cdot200=2{,}4\times10^7\ \text{W}.

Com eficiência de 30\%, a potência útil é:

P_{útil}=0{,}30\cdot2{,}4\times10^7=7{,}2\times10^6\ \text{W}

P_útil = 7,2 × 10⁶ W (7,2 MW)

Assuntos: Potência e rendimento, Energia mecânica e sua conservação.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 6 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗