Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Uma caixa contém doze presentes diferentes. Quatro crianças, uma de cada vez, deverão escolher aleatoriamente três presentes da caixa de uma só vez.

Nessas condições, encontre a quantidade possível de maneiras diferentes que esses presentes poderão ser distribuídos para essas quatro crianças.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 1º dia · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Uma caixa contém doze presentes diferentes. Quatro crianças, uma de cada vez, deverão escolher aleatoriamente três presentes da caixa de uma só vez.

Nessas condições, encontre a quantidade possível de maneiras diferentes que esses presentes poderão ser distribuídos para essas quatro crianças.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

A quantidade possível de maneiras diferentes que a primeira criança poderá escolher três presentes aleatoriamente é

Q_1 = C_{12,3} = \binom{12}{3} = \frac{12!}{3!9!}.

Para a segunda criança a quantidade possível é

Q_2 = C_{9,3} = \binom{9}{3} = \frac{9!}{3!6!}.

Para a terceira criança a quantidade possível é

Q_3 = C_{6,3} = \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!}.

A quarta criança terá somente uma possibilidade de escolher os presentes.

Desta forma, o número de maneiras diferentes dos presentes serem distribuídos é:

Q_1 \times Q_2 \times Q_3 \times Q_4 = \frac{12!}{3!9!} \times \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times 1 = \frac{11!}{3^3 2^2} = 11 \times 10 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 11 \times 7 \times 5^2 \times 3 \times 2^6 = 369600.

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Resolução comentada

a) As crianças escolhem uma de cada vez, então cada uma é distinta das outras. Para cada criança, a ordem em que ela pega os três presentes não importa, só quais presentes ficaram com ela. Por isso usamos combinação.

A 1ª criança escolhe 3 entre os 12 presentes: C_{12,3} = 220.
A 2ª escolhe 3 entre os 9 restantes: C_{9,3} = 84.
A 3ª escolhe 3 entre os 6 restantes: C_{6,3} = 20.
A 4ª fica com os 3 últimos: C_{3,3} = 1.

Pelo princípio multiplicativo:

220 \cdot 84 \cdot 20 \cdot 1 = 369\,600

Conferindo pela fórmula das permutações com repetição:

\frac{12!}{(3!)^4} = \frac{479\,001\,600}{1296} = 369\,600

Há 369 600 maneiras diferentes de distribuir os presentes.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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Questão 16 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗