Questão 11 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Considere a função dada por

f(x) = \begin{vmatrix} \log_2(x-2) & 1 \\ \log_2(x^2-4) & 3 \end{vmatrix}

definida no conjunto A=\{x \in \mathbb{R} / x>2\}.

De acordo com o exposto, determine o valor de x cuja imagem pela função f é igual a 2.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 2º dia · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Considere a função dada por

f(x) = \begin{vmatrix} \log_2(x-2) & 1 \\ \log_2(x^2-4) & 3 \end{vmatrix}

definida no conjunto A=\{x \in \mathbb{R} / x>2\}.

De acordo com o exposto, determine o valor de x cuja imagem pela função f é igual a 2.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Utilizando as propriedades das funções logarítmicas, escreve-se a função da seguinte forma:

f(x) = \begin{vmatrix} \log_2(x-2) & 1 \\ \log_2(x^2-4) & 3 \end{vmatrix} = 3\log_2(x-2) - \log_2(x^2-4) = \log_2\left(\frac{(x-2)^3}{x^2-4}\right) = \log_2\left(\frac{(x-2)^3}{(x-2)(x+2)}\right) = \log_2\frac{(x-2)^2}{x+2}.

Para encontrar o valor de x cuja imagem pela função f é igual a 2, deve-se resolver a equação f(x)=2. Resolvendo esta equação obtém-se:

\log_2\frac{(x-2)^2}{x+2} = 2 \iff \frac{(x-2)^2}{x+2} = 4 \iff (x-2)^2 = 4(x+2) \iff x^2-8x-4 = 0.

As soluções dessa última equação são x = 4-2\sqrt{5} e x = 4+2\sqrt{5}.

Como a função f está definida no conjunto A = \{x \in \mathbb{R} / x > 2\}, conclui-se então que a solução procurada é x = 4+2\sqrt{5}.

(5,0 pontos)

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Desenvolvendo o determinante (diagonal principal menos secundária):

f(x)=3\log_2(x-2)-\log_2(x^2-4)

Como x>2, tanto x-2 quanto x+2 são positivos. Então vale fatorar x^2-4=(x-2)(x+2) e usar as propriedades dos logaritmos:

f(x)=\log_2\frac{(x-2)^3}{(x-2)(x+2)}=\log_2\frac{(x-2)^2}{x+2}

Impondo f(x)=2:

\frac{(x-2)^2}{x+2}=2^2=4

(x-2)^2=4(x+2)
x^2-4x+4=4x+8
x^2-8x-4=0
\Delta=64+16=80, então x=\dfrac{8\pm4\sqrt5}{2}=4\pm2\sqrt5

O domínio exige x>2. Como 4-2\sqrt5<0 (pois 2\sqrt5\approx4{,}47), essa raiz não serve. Já 4+2\sqrt5\approx8{,}47>2 pertence a A.

Verificação: com x=4+2\sqrt5, (x-2)^2=(2+2\sqrt5)^2=24+8\sqrt5 e 4(x+2)=4(6+2\sqrt5)=24+8\sqrt5, o que confirma a igualdade.

x=4+2\sqrt5

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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Questão 11 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗