Questão 16 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Um modelo matemático para a propagação de um vírus em uma população isolada de N indivíduos considera que o número aproximado de novos contágios pelo vírus em uma dada semana é proporcional ao número de pessoas já portadoras do vírus na semana anterior e também ao número de pessoas ainda não infectadas, de forma que, denotando-se por p_s o número de portadores do vírus na semana s, tem-se

p_s - p_{s-1} \approx \alpha\, p_{s-1}(N - p_{s-1})

onde considera-se uma aproximação para o número inteiro mais próximo e \alpha é um parâmetro constante.

Aplicando-se este modelo à população de uma ilha com 1000 habitantes, considere que, na nona semana de observação, o número de portadores do vírus é 230 e, na décima semana, este número sobe para 405.

a) Baseando-se apenas nestes dados e considerando-se o valor do parâmetro \alpha que melhor se ajusta a eles, determine se \alpha é menor ou maior que 0{,}001. (2,0 pontos)

b) Aproximando-se o valor de \alpha para 1/1000, determine em qual semana ocorre o aumento mais expressivo no número de pessoas infectadas pelo vírus. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2013

1º semestre · 1º dia · Matemática: Função quadrática

Um modelo matemático para a propagação de um vírus em uma população isolada de N indivíduos considera que o número aproximado de novos contágios pelo vírus em uma dada semana é proporcional ao número de pessoas já portadoras do vírus na semana anterior e também ao número de pessoas ainda não infectadas, de forma que, denotando-se por p_s o número de portadores do vírus na semana s, tem-se

p_s - p_{s-1} \approx \alpha\, p_{s-1}(N - p_{s-1})

onde considera-se uma aproximação para o número inteiro mais próximo e \alpha é um parâmetro constante.

Aplicando-se este modelo à população de uma ilha com 1000 habitantes, considere que, na nona semana de observação, o número de portadores do vírus é 230 e, na décima semana, este número sobe para 405.

a) Baseando-se apenas nestes dados e considerando-se o valor do parâmetro \alpha que melhor se ajusta a eles, determine se \alpha é menor ou maior que 0{,}001. (2,0 pontos)

b) Aproximando-se o valor de \alpha para 1/1000, determine em qual semana ocorre o aumento mais expressivo no número de pessoas infectadas pelo vírus. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Como N = 1000, p_9 = 230 e p_{10} = 405, tem-se, pela equação dada no enunciado,

405 - 230 = \alpha \cdot 230 \cdot (1000 - 230) \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{175}{230 \cdot 770} = \frac{7 \cdot 25}{23 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 100} = \frac{1}{23 \cdot 11 \cdot 4} = \frac{1}{1012} < \frac{1}{1000}

Assim, o valor de \alpha que melhor se ajusta aos dados é menor que 0,001.

OU

Como N = 1000, p_9 = 230, considerando-se \alpha = 0{,}001, obtém-se

p_{10} - 230 = 0{,}001 \cdot 230 \cdot (1000 - 230) = 177{,}1 \quad \Rightarrow \quad p_{10} = 407{,}1

que é maior que o valor dado, de 405. Portanto, o valor de \alpha que melhor se ajusta aos dados é menor que 0,001.

(2,0 pontos)

b) De acordo com o modelo, o aumento no número de pessoas infectadas na semana s é

\alpha \, p_{s-1}(N - p_{s-1})

que é uma função quadrática do número de pessoas infectadas até a semana anterior. Esta função, cujo gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, possui raízes em zero e N, assumindo seu valor máximo quando p_{s-1} = N/2.

Assim, quanto mais próximo de 500 estiver o número de portadores do vírus em uma semana, maior vai ser o aumento na semana seguinte.

Segundo o enunciado p_{10} = 405 e aplicando o modelo, com \alpha = 1/1000, obtém-se

p_{11} = 405 + \frac{405}{1000}(1000 - 405) \approx 646

Como o número de portadores sempre aumenta, conclui-se que o mais próximo de 500 é p_{10}, o que significa que, na 11^a semana, ocorrerá o aumento mais expressivo no número de pessoas infectadas.

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Pelo modelo, com p_9=230 e p_{10}=405:

p_{10}-p_9 \approx \alpha\, p_9\,(N-p_9)

405-230=175 \approx \alpha\cdot 230\cdot 770 = 177\,100\,\alpha

O valor de \alpha que melhor se ajusta é \alpha\approx\dfrac{175}{177\,100}\approx 0{,}000988.

Para conferir, com \alpha=0{,}001 o modelo daria 0{,}001\cdot177\,100=177{,}1\approx177 novos casos. Isso não bate com os 175 observados. Logo \alpha é menor que 0{,}001.

\alpha<0{,}001

b) Com \alpha=1/1000 e N=1000, o aumento em uma semana é

f(p)=\frac{p(1000-p)}{1000}.

Esta é uma parábola em p com máximo em p=500, onde f=250. Ela é crescente para p<500 e decrescente para p>500. Assim, o maior aumento ocorre na semana em que o número de infectados da semana anterior fica mais próximo de 500.

Antes da semana 10, todos os valores de p são menores que 405, então os aumentos são menores que f(405).

A partir de p_{10}=405:

Semana 11: f(405)=\dfrac{405\cdot595}{1000}=240{,}975\approx241, então p_{11}=646.
Semana 12: f(646)=\dfrac{646\cdot354}{1000}=228{,}684\approx229, então p_{12}=875.
Semana 13: f(875)=\dfrac{875\cdot125}{1000}=109{,}375\approx109. Daí em diante p>500 e os aumentos só diminuem.

O maior aumento é de 241 pessoas, na 11ª semana.

11ª semana

Assunto: Função quadrática.

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Questão 16 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗