PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2013
A figura a seguir é uma representação do Sistema Solar.
Em 1766, o astrônomo alemão J. D. Tietz observou que as distâncias heliocêntricas dos planetas até então conhecidos e do cinturão de asteroides obedeciam, com boa aproximação, a um padrão conhecido hoje como lei de Titius-Bode.
Segundo esse padrão, a partir do planeta Vênus e incluindo o cinturão de asteroides, subtraindo-se 0{,}4 das distâncias heliocêntricas, em unidades astronômicas (UA), obtém-se uma progressão geométrica com termo inicial 0{,}3 e razão 2. A distância da Terra ao Sol, por exemplo, é de, aproximadamente, 1\text{ UA} e, neste caso, 1 - 0{,}4 = 0{,}3 \times 2.
Determine, segundo a lei de Titius-Bode, a distância heliocêntrica, em UA, do planeta Júpiter.
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a) A progressão geométrica começa em Vênus e inclui o cinturão de asteroides. A ordem dos corpos a partir do Sol é: Vênus, Terra, Marte, cinturão de asteroides e Júpiter.
O termo geral da PG de primeiro termo 0{,}3 e razão 2 é a_n = 0{,}3\cdot 2^{\,n-1}. Cada termo é a distância heliocêntrica menos 0{,}4.
- Vênus: a_1 = 0{,}3, o que dá d = 0{,}7\ \text{UA}.
- Terra: a_2 = 0{,}6, o que dá d = 1{,}0\ \text{UA}. Isso confere com o enunciado, pois 1 - 0{,}4 = 0{,}3\cdot 2.
- Marte: a_3 = 1{,}2, o que dá d = 1{,}6\ \text{UA}.
- Cinturão de asteroides: a_4 = 2{,}4, o que dá d = 2{,}8\ \text{UA}.
- Júpiter: a_5 = 0{,}3\cdot 2^4 = 0{,}3\cdot 16 = 4{,}8.
Para obter a distância de Júpiter, somamos de volta o 0{,}4 que foi subtraído:
Distância de Júpiter ao Sol: 5{,}2\ \text{UA}.
Assunto: Progressão geométrica.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗