Questão 13 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Em um período de festas, pretende-se decorar um poste de uma praça com fios de luzes pisca-piscas. A estrutura da decoração possui o formato de tronco de cone circular reto com 2,4 m de altura e diâmetros de 2 m na base e 0,6 m no topo. Os fios de luzes serão esticados, do aro superior ao inferior, ao longo de geratrizes do tronco de cone e, para distribuí-los de maneira uniforme, marcam-se na circunferência da base pontos igualmente espaçados, de modo que o comprimento do arco entre dois pontos consecutivos seja no máximo 10 cm.

De acordo com os dados apresentados, determine o número mínimo de fios de luzes necessário para cobrir a superfície lateral do tronco de cone e a soma total de seus comprimentos.

Dado: \pi \approx 3{,}14

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2013

1º semestre · 1º dia · Matemática: Cone e tronco de cone

Em um período de festas, pretende-se decorar um poste de uma praça com fios de luzes pisca-piscas. A estrutura da decoração possui o formato de tronco de cone circular reto com 2,4 m de altura e diâmetros de 2 m na base e 0,6 m no topo. Os fios de luzes serão esticados, do aro superior ao inferior, ao longo de geratrizes do tronco de cone e, para distribuí-los de maneira uniforme, marcam-se na circunferência da base pontos igualmente espaçados, de modo que o comprimento do arco entre dois pontos consecutivos seja no máximo 10 cm.

De acordo com os dados apresentados, determine o número mínimo de fios de luzes necessário para cobrir a superfície lateral do tronco de cone e a soma total de seus comprimentos.

Dado: \pi \approx 3{,}14

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

O comprimento, em centímetros, da circunferência da base maior é de

2\,\pi R \approx 2\times 3{,}14\times 100 = 628

Como o espaçamento entre os fios ao longo da base maior deve ser de, no máximo, 10 cm e

\frac{628}{10} = 62{,}8

conclui-se que são necessários pelo menos 63 fios de luzes.

O comprimento de cada fio de pisca-piscas é igual ao comprimento da geratriz do tronco de cone. Para calcular o comprimento da geratriz, consideremos o triângulo retângulo, como mostra a figura a seguir.

[Figura: Tronco de cone com bases circulares paralelas, destacando em sua lateral um triângulo retângulo com cateto vertical de altura h=2{,}4, cateto horizontal na base maior medindo R-r, com ângulo reto assinalado, e hipotenusa ao longo da geratriz indicada por d]

Pelo Teorema de Pitágoras, obtém-se

d^2 = h^2 + (R - r)^2 = 5{,}76 + 0{,}49 = 6{,}25 = \frac{625}{100} = \left(\frac{25}{10}\right)^2

Assim, d = 2{,}5\text{ m} e, como são 63 fios de 2{,}5\text{ m}, o comprimento total dos fios é de 157{,}5\text{ m}. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Número de fios

O diâmetro da base é 2 m, então o raio é R = 1\ \text{m}. O comprimento da circunferência da base é:

C = 2\pi R \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 1 = 6{,}28\ \text{m} = 628\ \text{cm}

Os pontos são igualmente espaçados, e cada arco entre dois pontos consecutivos mede no máximo 10 cm. Com n pontos, há n arcos iguais, então:

\frac{628}{n} \le 10 \;\Rightarrow\; n \ge 62{,}8

Como n é inteiro, o menor valor é n = 63. Cada ponto da base recebe um fio, logo são 63 fios.

Comprimento de cada fio

Cada fio segue uma geratriz g do tronco de cone. O raio do topo é r = 0{,}3\ \text{m} (diâmetro de 0,6 m) e a altura é h = 2{,}4\ \text{m}. Num corte que contém o eixo do cone, a geratriz é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos h e R - r:

g^2 = h^2 + (R-r)^2 = 2{,}4^2 + 0{,}7^2 = 5{,}76 + 0{,}49 = 6{,}25

g = 2{,}5\ \text{m}

Soma dos comprimentos

63 \cdot 2{,}5 = 157{,}5\ \text{m}

Resposta: são necessários no mínimo 63 fios, com soma total de 157,5 m.

Assunto: Cone e tronco de cone.

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Questão 13 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗