Questão 15 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na margem na qual se encontra, tais que os ângulos A\hat{B}C e A\hat{C}B medem 135^\circ e 30^\circ, respectivamente. O topógrafo, então, mediu a distância entre B e C, obtendo 20 metros. Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio.

Dado: \sqrt{3}\approx 1{,}7

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2013

1º semestre · 1º dia · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na margem na qual se encontra, tais que os ângulos A\hat{B}C e A\hat{C}B medem 135^\circ e 30^\circ, respectivamente. O topógrafo, então, mediu a distância entre B e C, obtendo 20 metros. Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio.

Dado: \sqrt{3}\approx 1{,}7

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Resposta esperada pela UFG

De acordo com o enunciado, traçando uma reta perpendicular à margem do rio por A, obtém-se um ponto D, intersecção desta reta com a margem oposta e tal que \ell = AD é a largura do rio.

[Figura: Esquema geométrico com duas retas paralelas horizontais representando as margens de um rio. Na margem superior está o ponto A, e na margem inferior, da esquerda para a direita, os pontos C, B e D. O segmento AD é perpendicular à margem inferior em D, indicado pelo símbolo de ângulo reto e pela letra \ell. O segmento AC liga a margem superior ao ponto C, formando com a margem inferior um ângulo de 30^\circ. O segmento AB liga o ponto A ao ponto B, com ângulo obtuso de 135^\circ à esquerda de B e ângulo \alpha à direita. No vértice A, o ângulo interno formado por AB e AD é indicado por \beta. O segmento CB tem comprimento indicado por 20.]

Observando-se que, na figura, o ângulo \alpha = A\hat{B}D e 135^\circ são suplementares, obtém-se \alpha = 45^\circ. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^\circ e o triângulo ADB é retângulo, obtém-se \beta = 45^\circ. Desta forma, o triângulo ADB é isósceles. Assim, o comprimento do segmento BD é igual a \ell. Considerando-se o triângulo ACD, obtém-se

\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\ell}{\ell + 20} \quad \Rightarrow \quad \ell = \frac{20\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = 26{,}15\text{ m.}

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) A largura do rio é a distância de A até a reta que contém a margem de B e C, isto é, a altura h=AH, com H o pé da perpendicular a essa margem.

Como A\hat{B}C=135^\circ é obtuso, H fica no prolongamento de CB, depois de B. Então A\hat{B}H=180^\circ-135^\circ=45^\circ.

No triângulo retângulo ABH, o ângulo em B é 45^\circ. Logo BH=AH=h.
Assim, CH=CB+BH=20+h.
No triângulo retângulo ACH, com A\hat{C}H=30^\circ:

\tg 30^\circ=\frac{h}{20+h}\;\Rightarrow\;\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{20+h}

Multiplicando em cruz, \sqrt{3}(20+h)=3h. Isso dá 20\sqrt{3}=h(3-\sqrt{3}).
Isolando h e racionalizando:

h=\frac{20\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{6}=\frac{60\sqrt{3}+60}{6}=10(\sqrt{3}+1)

Com \sqrt{3}\approx 1{,}7: h\approx 10\cdot 2{,}7=27.

O rio tem largura de aproximadamente 27 m.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Questão 15 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗