PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 16 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2012
Três irmãos herdaram uma propriedade rural em Goiás e necessitam repartir as terras. A figura a seguir representa a propriedade, que é retangular, medindo 2000 m por 1500 m, e está integralmente utilizada para lavouras e pastagens, exceto a reserva legal mínima de mata nativa, também em formato retangular, com 1200 m de comprimento, representada pela região sombreada na figura.
As linhas destacadas na figura apresentam uma proposta de partilha das terras em que a região de mata nativa fica dividida em um retângulo e dois triângulos.
Considerando-se que os três irmãos devem ficar com propriedades de mesma área e que, para cada uma delas, deve ser garantida a reserva legal mínima de vegetação nativa, que no estado de Goiás é de 20% da área da propriedade, determine quais devem ser as medidas assinaladas por x e y.
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Resolução comentada
a) Resolva em três passos: encontre a altura da mata, o ponto onde a linha vertical toca o topo e, por fim, as áreas das três partes.
Altura da mata. A propriedade tem 2000\cdot1500=3\,000\,000\ \text{m}^2, então cada irmão fica com 1\,000\,000\ \text{m}^2. A reserva de cada um é 20\% disso, ou seja, 200\,000\ \text{m}^2. Os três juntos têm 600\,000\ \text{m}^2 de mata. Como a mata é um retângulo de 1200 m de comprimento, sua altura h satisfaz:
Posição da linha vertical. Ponha a origem no canto inferior esquerdo. A mata ocupa 800\le x\le 2000 e 1000\le y\le1500. Seja p a abscissa do ponto em que a linha vertical toca o topo.
O retângulo da mata à direita dessa linha deve ter 200\,000\ \text{m}^2:
Os dois triângulos têm base 1600-800=800 m e altura 500 m. Cada um tem \tfrac12\cdot800\cdot500=200\,000\ \text{m}^2, como a reserva exige.
Valor de x. O irmão da direita fica com a faixa 1600\le x\le2000 em toda a altura, que mede 400\cdot1500=600\,000\ \text{m}^2. A isso soma-se o triângulo abaixo da mata, entre a linha inclinada e a vertical x=1600. Esse triângulo tem altura 1000 m e base x-400 na parte de baixo, pois o ponto da base está em 2000-x.
Valor de y. O irmão da esquerda fica com a parte acima da linha que sai do lado esquerdo, a uma distância y do topo, e passa pelo canto da mata em (800,1000) até o topo em (1600,1500). Essa área se divide em duas partes:
- Para 0\le x\le800, é um trapézio de alturas y e 500, com área \tfrac{y+500}{2}\cdot800=400y+200\,000.
- Para 800\le x\le1600, é o triângulo da mata, com área 200\,000.
Isso significa que a linha termina no canto inferior esquerdo. O irmão do meio fica com 3\,000\,000-2\,000\,000=1\,000\,000\ \text{m}^2, o que confere.
x=1200\ \text{m} e y=1500\ \text{m} (1,2 km e 1,5 km).
Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Equações do 1º grau e problemas.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗