Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2012

Question

Um estudante observa a construção de dois prédios, A e B, marcando em um gráfico a altura de cada edifício, em cada semana de observação. O progresso das construções mantém um ritmo constante, de modo que o estudante obtém os gráficos a seguir:

Gráfico da altura em metros do Prédio A em função das semanas 1, 2 e 3, com alturas 33 m, 36 m e 39 m, respectivamente.

Em uma determinada semana, o estudante constata, de um ponto da rua onde se encontra, que os topos dos prédios alinham-se a uma elevação de 45^\circ, como indica a figura a seguir.

Esquema mostrando a linha visual partindo do olho do observador no chão, inclinada a 45° em relação ao solo e passando pelo canto superior esquerdo do prédio A e pelo topo do prédio B. A distância horizontal entre as faces esquerdas dos prédios A e B é de 59 metros.

Com base nos dados apresentados, determine em qual semana ocorreu essa observação.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2012

1º semestre · 1º dia · Matemática: Função afim

Um estudante observa a construção de dois prédios, A e B, marcando em um gráfico a altura de cada edifício, em cada semana de observação. O progresso das construções mantém um ritmo constante, de modo que o estudante obtém os gráficos a seguir:

Gráfico da altura em metros do Prédio A em função das semanas 1, 2 e 3, com alturas 33 m, 36 m e 39 m, respectivamente.

Em uma determinada semana, o estudante constata, de um ponto da rua onde se encontra, que os topos dos prédios alinham-se a uma elevação de 45^\circ, como indica a figura a seguir.

Esquema mostrando a linha visual partindo do olho do observador no chão, inclinada a 45° em relação ao solo e passando pelo canto superior esquerdo do prédio A e pelo topo do prédio B. A distância horizontal entre as faces esquerdas dos prédios A e B é de 59 metros.

Com base nos dados apresentados, determine em qual semana ocorreu essa observação.

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Resolução comentada

a) Primeiro, escreva a altura de cada prédio em função da semana n. O ritmo é constante, então as alturas formam progressões aritméticas.

Prédio A: h_A(n)=33+3(n-1)=30+3n (3 m por semana).
Prédio B: h_B(n)=20+5(n-1)=15+5n (5 m por semana).

A linha de visada faz 45^\circ com o chão, então \tg 45^\circ=1. Isso significa que, ao longo dessa reta, a altura aumenta o mesmo tanto que a distância horizontal avança.

A reta passa pelo topo de A (na face esquerda, a face mais próxima do observador) e pelo topo de B (na face esquerda de B). Essas duas faces estão separadas horizontalmente por 59 m. Logo, a diferença de altura entre os topos é igual a 59 m:

h_B-h_A=59

Substituindo:

(15+5n)-(30+3n)=59

2n-15=59\Rightarrow 2n=74\Rightarrow n=37

Conferência: h_A=30+111=141 m e h_B=15+185=200 m. A diferença é 200-141=59 m, igual à distância horizontal, o que dá \tg\theta=1, ou seja, 45^\circ.

A observação ocorreu na semana 37.

Resposta: 37ª semana.

Assuntos: Função afim, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Questão 14 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗