Questão 10 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

Question

Leia o texto a seguir.

Lei de Snell – Descartes: Para um raio de luz monocromática que passa de um meio transparente para outro, o produto do seno do ângulo de incidência pelo índice de refração do meio em que se propaga o raio incidente é igual ao produto do seno do ângulo de refração pelo índice de refração do meio em que se propaga o raio refratado.

Disponível em: <www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/061110.pdf>. Acesso em: 9 mai. 2012. [Adaptado].

Um raio luminoso passa do vidro para a água com um ângulo de incidência de 15^\circ, e o índice de refração da água em relação ao vidro é de aproximadamente 0{,}88.

Com base nos dados apresentados, determine:

a) o seno do ângulo de refração com uma aproximação de duas casas decimais; (3,0 pontos)

b) a velocidade aproximada da luz no vidro, considerando-se que a velocidade da luz na água é de aproximadamente 225.056{,}26\text{ km/s}. (2,0 pontos)

Dados: \sqrt{2} \approx 1{,}41 e \sqrt{3} \approx 1{,}73

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

2º semestre · 2º dia · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Leia o texto a seguir.

Lei de Snell – Descartes: Para um raio de luz monocromática que passa de um meio transparente para outro, o produto do seno do ângulo de incidência pelo índice de refração do meio em que se propaga o raio incidente é igual ao produto do seno do ângulo de refração pelo índice de refração do meio em que se propaga o raio refratado.

Disponível em: <www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/061110.pdf>. Acesso em: 9 mai. 2012. [Adaptado].

Um raio luminoso passa do vidro para a água com um ângulo de incidência de 15^\circ, e o índice de refração da água em relação ao vidro é de aproximadamente 0{,}88.

Com base nos dados apresentados, determine:

a) o seno do ângulo de refração com uma aproximação de duas casas decimais; (3,0 pontos)

b) a velocidade aproximada da luz no vidro, considerando-se que a velocidade da luz na água é de aproximadamente 225.056{,}26\text{ km/s}. (2,0 pontos)

Dados: \sqrt{2} \approx 1{,}41 e \sqrt{3} \approx 1{,}73

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Sejam i_v e i_a os índices de refração do vidro e da água, respectivamente, \alpha o ângulo de incidência do raio luminoso e \beta o ângulo de refração. Do enunciado, tem-se

\frac{i_a}{i_v} = 0{,}88 \quad \text{e} \quad \alpha = 15^\circ

Sendo assim, pela lei de Snell,

i_v \operatorname{sen} \alpha = i_a \operatorname{sen} \beta

então, \operatorname{sen} \beta = \dfrac{i_v}{i_a} \operatorname{sen} 15^\circ = \dfrac{\operatorname{sen} 15^\circ}{0{,}88}. Mas,

\begin{aligned} \operatorname{sen} 15^\circ &= \operatorname{sen} (45^\circ - 30^\circ) = \operatorname{sen} 45^\circ \cos 30^\circ - \operatorname{sen} 30^\circ \cos 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right) \approx 0{,}26. \end{aligned}

Portanto, \operatorname{sen} \beta = \dfrac{0{,}26}{0{,}88} \approx 0{,}29.

(3,0 pontos)

b) Sejam v_{\text{água}} e v_{\text{vidro}} as velocidades da luz na água e no vidro, respectivamente. Sabendo-se que

\frac{i_v}{i_a} = \frac{v_{\text{água}}}{v_{\text{vidro}}}

e v_{\text{água}} = 225.056{,}26\text{ km/s}, então

v_{\text{vidro}} = \frac{225.056{,}26}{1{,}14} \approx 197.417{,}77\text{ km/s}.

(2,0 pontos)

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Pela lei de Snell-Descartes, n_{vidro}\,\sen 15^\circ = n_{\text{água}}\,\sen r. O enunciado dá o índice da água em relação ao vidro, ou seja, \dfrac{n_{\text{água}}}{n_{vidro}} = 0{,}88. Logo:

\sen r = \frac{\sen 15^\circ}{0{,}88}

Como os dados fornecem só \sqrt{2} e \sqrt{3}, calculamos \sen 15^\circ como \sen(45^\circ-30^\circ):

\sen 15^\circ = \sen 45^\circ\cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sen 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt2\,(\sqrt3-1)}{4}

Substituindo os valores:

\sen 15^\circ \approx \frac{1{,}41\cdot 0{,}73}{4} = \frac{1{,}0293}{4}\approx 0{,}2573

Então:

\sen r \approx \frac{0{,}2573}{0{,}88}\approx 0{,}2924 \approx 0{,}29

\sen r \approx 0{,}29

b) O índice de refração é n = c/v. Portanto, o índice relativo da água em relação ao vidro é:

\frac{n_{\text{água}}}{n_{vidro}} = \frac{c/v_{\text{água}}}{c/v_{vidro}} = \frac{v_{vidro}}{v_{\text{água}}} = 0{,}88

Assim:

v_{vidro} = 0{,}88\cdot 225.056{,}26 \approx 198.049{,}51\ \text{km/s}

Ou seja, cerca de 1{,}98\times10^{5}\ \text{km/s}. Esse valor é menor que a velocidade na água, como esperado: o vidro é o meio de maior índice de refração.

v_{vidro}\approx 198.049\ \text{km/s}

Assuntos: Identidades, adição de arcos e arco duplo, Razão e proporção.

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Questão 10 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗