Questão 11 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

Question

Um objeto é lançado horizontalmente do topo de uma rampa que forma um ângulo de 30^\circ com a horizontal, como indica a figura a seguir.

Esquema de uma rampa inclinada com ângulo de 30° em relação à horizontal. No topo, uma esfera é lançada horizontalmente com vetor velocidade v₀ para a direita, seguindo uma trajetória parabólica até colidir novamente com a superfície da rampa. A distância ao longo da rampa entre o topo e o ponto de impacto é indicada por d.

Considerando-se que a velocidade de lançamento é de 15\text{ m/s} e desprezando-se outras influências, como a resistência do ar, determine a distância d, em metros, do topo da rampa ao ponto em que objeto retorna à rampa.

(5,0 pontos)

Dado: g \approx 10\ m/s^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

2º semestre · 2º dia · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Um objeto é lançado horizontalmente do topo de uma rampa que forma um ângulo de 30^\circ com a horizontal, como indica a figura a seguir.

Esquema de uma rampa inclinada com ângulo de 30° em relação à horizontal. No topo, uma esfera é lançada horizontalmente com vetor velocidade v₀ para a direita, seguindo uma trajetória parabólica até colidir novamente com a superfície da rampa. A distância ao longo da rampa entre o topo e o ponto de impacto é indicada por d.

Considerando-se que a velocidade de lançamento é de 15\text{ m/s} e desprezando-se outras influências, como a resistência do ar, determine a distância d, em metros, do topo da rampa ao ponto em que objeto retorna à rampa.

(5,0 pontos)

Dado: g \approx 10\ m/s^2

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Considerando-se que o componente vertical da velocidade inicial é nulo, em um intervalo de tempo, t, medido a partir do lançamento, a altura do objeto varia de

\Delta h = \frac{g t^2}{2} = 5 t^2

No mesmo intervalo de tempo, o deslocamento horizontal do objeto é \Delta x = v_0 t = 15 t. Quando o objeto retorna à rampa (t>0), tem-se, da figura a seguir,

[Figura: Triângulo retângulo com cateto vertical \Delta h, cateto horizontal \Delta x, hipotenusa d e ângulo agudo de 30^\circ entre a hipotenusa e o cateto horizontal]

\frac{\Delta h}{\Delta x} = tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}

Desta forma, conclui-se que t = \sqrt{3} e, então, \Delta h = 15 e \Delta x = 15\sqrt{3}.

Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, obtém-se a distância d = 30\text{ m}.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Tomamos a origem no topo da rampa, com x na horizontal e y para baixo. O lançamento é horizontal, então:

Na horizontal o movimento é uniforme: x = v_0 t = 15t.
Na vertical a queda é livre, sem velocidade inicial: y = \frac{g t^2}{2} = 5t^2.

O objeto volta à rampa quando o ponto (x, y) está sobre a reta da rampa, que forma 30^\circ com a horizontal:

\tg 30^\circ = \frac{y}{x} \Rightarrow \frac{5t^2}{15t} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Simplificando:

\frac{t}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow t = \sqrt{3}\ \text{s}

Com esse tempo, o deslocamento horizontal é:

x = 15\sqrt{3}\ \text{m}

A distância d é medida ao longo da rampa, ou seja, é a hipotenusa do triângulo cujo cateto adjacente ao ângulo de 30^\circ é x:

d = \frac{x}{\cos 30^\circ} = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 30\ \text{m}

Conferindo: y = 5\cdot 3 = 15\ \text{m} e d = \sqrt{(15\sqrt3)^2 + 15^2} = \sqrt{675+225} = 30\ \text{m}. Confere.

d = 30\ \text{m}

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Equação do 2º grau.

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Questão 11 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗