Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Uma unidade de medida muito utilizada, proposta originalmente por Alexander Graham Bell (1847-1922) para comparar as intensidades de duas ocorrências de um mesmo fenômeno, é o decibel (dB).

Em um sistema de áudio, por exemplo, um sinal de entrada, com potência P_1, resulta em um sinal de saída, com potência P_2. Quando P_2 > P_1, como em um amplificador de áudio, diz-se que o sistema apresenta um ganho, em decibéis, de

G = 10 \log\left(\frac{P_2}{P_1}\right)

Quando P_2 < P_1, a expressão acima resulta em um ganho negativo, e diz-se que houve uma atenuação do sinal.

Desse modo,

a) para um amplificador que fornece uma potência P_2 de saída igual a 80 vezes a potência P_1 de entrada, qual é o ganho em dB?
(2,5 pontos)

b) em uma linha de transmissão, na qual há uma atenuação de 20 dB, qual a razão entre as potências de saída e de entrada, nesta ordem?

Dado: \log 2 = 0{,}30

(2,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2011

2º semestre · 1º dia · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Uma unidade de medida muito utilizada, proposta originalmente por Alexander Graham Bell (1847-1922) para comparar as intensidades de duas ocorrências de um mesmo fenômeno, é o decibel (dB).

Em um sistema de áudio, por exemplo, um sinal de entrada, com potência P_1, resulta em um sinal de saída, com potência P_2. Quando P_2 > P_1, como em um amplificador de áudio, diz-se que o sistema apresenta um ganho, em decibéis, de

G = 10 \log\left(\frac{P_2}{P_1}\right)

Quando P_2 < P_1, a expressão acima resulta em um ganho negativo, e diz-se que houve uma atenuação do sinal.

Desse modo,

a) para um amplificador que fornece uma potência P_2 de saída igual a 80 vezes a potência P_1 de entrada, qual é o ganho em dB?
(2,5 pontos)

b) em uma linha de transmissão, na qual há uma atenuação de 20 dB, qual a razão entre as potências de saída e de entrada, nesta ordem?

Dado: \log 2 = 0{,}30

(2,5 pontos)

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Resolução comentada

a)

O ganho é calculado a partir da razão entre a potência de saída e a de entrada. Como P_2=80P_1, temos \frac{P_2}{P_1}=80. Substituindo na expressão fornecida:

G=10\log 80.

Para usar o dado \log 2=0{,}30, escrevemos 80=2^3\cdot 10. Pelas propriedades dos logaritmos, o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos, e o expoente pode ser colocado como fator:

\log 80=3\log 2+\log 10=3\cdot 0{,}30+1=1{,}90.

Portanto, usando o valor fornecido,

G=10\cdot 1{,}90=19\ \text{dB}.

O ganho é de 19\ \text{dB}.

b)

Uma atenuação de 20\ \text{dB} corresponde a um ganho negativo, isto é, G=-20\ \text{dB}. É importante manter esse sinal, pois a potência de saída deve ser menor que a potência de entrada. Substituindo na fórmula:

-20=10\log\left(\frac{P_2}{P_1}\right) \quad\Rightarrow\quad \log\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=-2.

Como o logaritmo está na base 10, passamos à forma exponencial:

\frac{P_2}{P_1}=10^{-2}=\frac{1}{100}=0{,}01.

Assim, a potência de saída equivale a 1\% da potência de entrada, confirmando que houve atenuação.

A razão entre as potências de saída e de entrada é \frac{P_2}{P_1}=0{,}01.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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Questão 16 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗