Questão 1 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Um jogador de futebol, rente à lateral direita do campo, faz um lançamento oblíquo ao longo dessa lateral. O chute imprime à bola uma velocidade de 25\text{ m/s}. Em decorrência de um vento horizontal, ela também adquire uma velocidade de 6\sqrt{3}\text{ m/s}, perpendicular à direção do lançamento. A bola atinge o solo na outra lateral do campo, cuja largura é de 45\text{ m}. Desprezando a resistência do ar e considerando g=10\text{ m/s}^2, calcule:

a) o ângulo de lançamento com a horizontal. (3,0 pontos)

b) a altura máxima alcançada pela bola. (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

2º semestre · 2º dia · Física: Lançamento horizontal e oblíquo

Um jogador de futebol, rente à lateral direita do campo, faz um lançamento oblíquo ao longo dessa lateral. O chute imprime à bola uma velocidade de 25\text{ m/s}. Em decorrência de um vento horizontal, ela também adquire uma velocidade de 6\sqrt{3}\text{ m/s}, perpendicular à direção do lançamento. A bola atinge o solo na outra lateral do campo, cuja largura é de 45\text{ m}. Desprezando a resistência do ar e considerando g=10\text{ m/s}^2, calcule:

a) o ângulo de lançamento com a horizontal. (3,0 pontos)

b) a altura máxima alcançada pela bola. (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Sendo v a velocidade do vento, L a largura do campo de futebol e t o tempo de voo: v = \frac{L}{t}

Logo, o tempo de voo: t = \frac{L}{v}

Sendo que a bola é lançada a partir do solo e retorna ao solo após completar a trajetória do lançamento (s = s_0 = 0): 0 = (v_0\text{sen}\theta)t - \frac{1}{2}gt^2

ou seja: \text{sen}\theta = \frac{gt}{2v_0} = \frac{g}{2v_0}\frac{L}{v} = \frac{10}{2 \times 25}\frac{45}{6\frac{\text{}}{\text{}}\text{}}\frac{}{}\frac{45}{6\times\text{?}}

Vamos reexaminar a imagem com cuidado para o trecho:
ou seja: sen \theta = \frac{g t}{2 v_0} = \frac{g}{2 v_0} \frac{L}{v} = \frac{10}{2.25} \frac{45}{6\raiz{3}} = \frac{\raiz{3}}{2}
Portanto: \theta = 60^\text{o}
(3,0 pontos)

b) h = v_{0y}t_s - \frac{1}{2}gt_s^2 = t_s \begin{pmatrix} v_{0y} - \frac{1}{2}gt_s \tend{pmatrix} = \frac{v_0\text{sen}\theta}{g}\begin{pmatrix} v_0\text{sen}\theta - \frac{1}{2}g\frac{v_0\text{sen}\theta}{g} \tend{pmatrix} = \frac{v_0^2\text{sen}^2\theta}{2g}.

Logo, h = \frac{25^2(\raiz{3}/2)^2}{2\times 10} = \frac{375}{16} \temproximado 23,4\text{ m}

(2,0 pontos)

Critério de correção

Desenvolvimentos parciais serão considerados, pontuando-se cada etapa individualmente.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) A velocidade de 6\sqrt{3}\ \text{m/s} do vento é horizontal e perpendicular à lateral. Ela não tem componente vertical e leva a bola de uma lateral à outra. Já a velocidade de 25\ \text{m/s} do chute está no plano vertical que contém a lateral, formando o ângulo \theta com a horizontal.

Na direção transversal o movimento é uniforme, então o tempo de voo é:

t=\frac{45}{6\sqrt{3}}=\frac{15}{2\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \text{s}

Na vertical, a bola sai do solo e volta ao solo. O tempo de voo é então t=\dfrac{2v_y}{g}, com v_y=25\,\sen\theta:

\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{2\cdot 25\,\sen\theta}{10}=5\,\sen\theta\ \Rightarrow\ \sen\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}

Portanto \theta=60^\circ.

Ângulo de lançamento: 60^\circ.

b) A altura máxima depende só da componente vertical da velocidade inicial:

v_y=25\,\sen 60^\circ=\frac{25\sqrt{3}}{2}\ \text{m/s}

No ponto mais alto v_y=0. Por Torricelli:

H=\frac{v_y^2}{2g}=\frac{\left(\frac{25\sqrt{3}}{2}\right)^2}{20}=\frac{1875/4}{20}=\frac{1875}{80}\approx 23{,}4\ \text{m}

Altura máxima: H\approx 23{,}4\ \text{m}.

Assuntos: Lançamento horizontal e oblíquo, Cinemática vetorial e composição de movimentos.

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Questão 1 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗