Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Embora espere-se que a produtividade de uma plantação aumente quando se aumenta o número de plantas, um aumento da densidade da plantação (plantas mais próximas umas das outras) pode diminuir a produtividade de cada planta, tendo um efeito negativo na produtividade por unidade de área. Considere que, para um certo vegetal, a produtividade p de cada planta, em gramas, seja dada em função da densidade plantada d, em \text{plantas/m}^2, por

p(d) = 85 - 10d

Dessa forma, determine o valor da densidade plantada que maximize a produtividade por \text{m}^2. (5,0 pontos)

Answer 1

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Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2011

2º semestre · 1º dia · Matemática: Função quadrática

Embora espere-se que a produtividade de uma plantação aumente quando se aumenta o número de plantas, um aumento da densidade da plantação (plantas mais próximas umas das outras) pode diminuir a produtividade de cada planta, tendo um efeito negativo na produtividade por unidade de área. Considere que, para um certo vegetal, a produtividade p de cada planta, em gramas, seja dada em função da densidade plantada d, em \text{plantas/m}^2, por

p(d) = 85 - 10d

Dessa forma, determine o valor da densidade plantada que maximize a produtividade por \text{m}^2. (5,0 pontos)

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Resposta esperada pela UFG

Multiplicando-se a produtividade de cada planta pela quantidade de plantas por \text{m}^2, obtém-se a produtividade por \text{m}^2, P, ou seja,

P = p\,d

Assim, a produtividade por \text{m}^2 em função da densidade é dada por

P(d) = (85 - 10\,d)\,d = -10\,d^2 + 85\,d

O que representa uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola com concavidade para baixo e com raízes em d=0 e d=8{,}5. O valor máximo de P corresponde ao vértice da parábola, em que o valor de d é a média aritmética das raízes da função. Logo, a densidade que maximiza a produtividade por \text{m}^2 é

d = \frac{8{,}5}{2} = 4{,}25\text{ plantas por m}^2.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

A produtividade de cada planta é p(d) gramas, e há d plantas em cada \text{m}^2. Então a produtividade por \text{m}^2 é o produto:

P(d) = d\cdot p(d) = d(85-10d) = -10d^2 + 85d

Isso é uma função quadrática com a=-10<0, ou seja, uma parábola de concavidade para baixo. O máximo está no vértice:

d_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{85}{2\cdot(-10)} = \frac{85}{20} = 4{,}25

Conferindo: as raízes de P são d=0 e d=8{,}5, e o ponto médio delas é 4{,}25.

Nesse ponto, p(4{,}25)=85-42{,}5=42{,}5\ \text{g} por planta, e a produtividade por área é P(4{,}25)=4{,}25\cdot 42{,}5=180{,}625\ \text{g/m}^2.

A densidade que maximiza a produtividade por \text{m}^2 é 4{,}25\ \text{plantas/m}^2.

Assunto: Função quadrática.

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Questão 16 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗