Questão 15 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Um pesquisador perdeu os dados referentes a um experimento com um circuito de corrente contínua. Revendo suas antigas anotações, ele encontrou o esquema do circuito e o gráfico que representa a relação entre tensão e corrente nos resistores R_1 e R_2, como mostram as figuras a seguir:

Esquema de circuito elétrico com uma fonte de corrente contínua de tensão total U_T = 1 V e corrente total i_T = 2 A, ligada em série a um resistor R_3, que se conecta a uma associação em paralelo contendo os resistores R_1 e R_2.
Gráfico no plano cartesiano com eixo vertical U(V) e eixo horizontal i(A). Do ponto de origem partem duas retas, identificadas por R_1 e R_2. O ângulo entre o eixo horizontal e a reta R_1 é indicado por alfa, e o ângulo entre a reta R_1 e a reta R_2 é indicado por beta.

Sabendo que o gráfico utiliza a mesma escala para corrente e tensão, o pesquisador mediu os ângulos \alpha e \beta, obtendo, respectivamente, 15^\circ e 30^\circ. Considerando o exposto, calcule, com aproximação de duas casas decimais, o valor do resistor R_3.

Dado: \sqrt{3} = 1{,}73

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2011

2º semestre · 1º dia · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Um pesquisador perdeu os dados referentes a um experimento com um circuito de corrente contínua. Revendo suas antigas anotações, ele encontrou o esquema do circuito e o gráfico que representa a relação entre tensão e corrente nos resistores R_1 e R_2, como mostram as figuras a seguir:

Esquema de circuito elétrico com uma fonte de corrente contínua de tensão total U_T = 1 V e corrente total i_T = 2 A, ligada em série a um resistor R_3, que se conecta a uma associação em paralelo contendo os resistores R_1 e R_2.
Gráfico no plano cartesiano com eixo vertical U(V) e eixo horizontal i(A). Do ponto de origem partem duas retas, identificadas por R_1 e R_2. O ângulo entre o eixo horizontal e a reta R_1 é indicado por alfa, e o ângulo entre a reta R_1 e a reta R_2 é indicado por beta.

Sabendo que o gráfico utiliza a mesma escala para corrente e tensão, o pesquisador mediu os ângulos \alpha e \beta, obtendo, respectivamente, 15^\circ e 30^\circ. Considerando o exposto, calcule, com aproximação de duas casas decimais, o valor do resistor R_3.

Dado: \sqrt{3} = 1{,}73

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Considerando-se o gráfico apresentado e os valores dos ângulos \alpha e \beta, tem-se que

R_1 = \tg 15^\circ = \tg (45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tg 45^\circ - \tg 30^\circ}{1 + \tg 45^\circ \tg 30^\circ} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}

\Rightarrow R_1 = 2 - \sqrt{3}\ \Omega

E

R_2 = \tg (\alpha + \beta) = \tg 45^\circ = 1\ \Omega

Como R_1 e R_2 estão em paralelo, o valor da resistência equivalente, \overline{R}, é dado por

\frac{1}{\overline{R}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 1 + \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 3 + \sqrt{3} \Rightarrow

\overline{R} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}\ \Omega

Considerando-se R_\text{T} a resistência total do circuito, tem-se que

R_\text{T} = \frac{U_\text{T}}{i_\text{T}} = \frac{1}{2}\ \Omega

Assim, como R_\text{T} = R_3 + \overline{R}, tem-se

R_3 = \frac{1}{2} - \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{6}

R_3 \approx 0{,}29\ \Omega

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) No gráfico, a escala é a mesma nos dois eixos. Por isso a inclinação de cada reta é \tg\theta=\dfrac{U}{i}, que é a resistência (1ª lei de Ohm).

A reta de R_1 forma \alpha=15^\circ com o eixo i. A reta de R_2 forma \alpha+\beta=45^\circ com o mesmo eixo.

Resistência R_1: R_1=\tg 15^\circ=\tg(45^\circ-30^\circ)=\dfrac{1-\frac{\sqrt3}{3}}{1+\frac{\sqrt3}{3}}=\dfrac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}=2-\sqrt3\approx 0{,}27\ \Omega.
Resistência R_2: R_2=\tg45^\circ=1\ \Omega.
R_1 e R_2 estão em paralelo:

R_p=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac{0{,}27}{1{,}27}\approx 0{,}21\ \Omega
Resistência equivalente do circuito, com U_T=1\ \text{V} e i_T=2\ \text{A}:

R_{eq}=\frac{U_T}{i_T}=\frac{1}{2}=0{,}50\ \Omega
R_3 está em série com a associação paralela, então R_{eq}=R_3+R_p:

R_3=0{,}50-0{,}21\approx 0{,}29\ \Omega

R_3\approx 0{,}29\ \Omega

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Questão 15 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗