PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 16 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2011
Ao estudar as funções trigonométricas, os matemáticos indianos (c. 400-628 d.C.) costumavam usar o conceito de meia-corda relacionado ao ângulo central. A figura abaixo, por exemplo, representa uma corda AB em um círculo de raio r e sua meia-corda AM = \frac{1}{2}\text{ }AB.
Considerando o ângulo \alpha = A\hat{O}C, 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}, os indianos chamavam o segmento OM de kojya do ângulo \alpha, ou seja, OM = kojya(\alpha). Além disso, denominavam o segmento AM de jya do ângulo \alpha e o segmento MC de ukramajya de \alpha.
Com base nestas informações, sendo r = 1 e jya(\alpha) = 0{,}6, calcule ukramajya(\alpha). (5,0 pontos)
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O triângulo OMA é retângulo em M, com hipotenusa OA = r = 1. Seus catetos são AM = jya(\alpha) e OM = kojya(\alpha).
- Pelo enunciado, AM = 0{,}6.
- Pelo teorema de Pitágoras:
OM^2 + AM^2 = OA^2 \Rightarrow OM^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64 - Como 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}, o ponto M está à direita de O e OM > 0. Logo OM = kojya(\alpha) = 0{,}8.
- O ponto C está na circunferência, então OC = r = 1. Como M está sobre o segmento OC:
MC = OC - OM = 1 - 0{,}8 = 0{,}2
Em termos trigonométricos, jya(\alpha) = r\,\sen\alpha, kojya(\alpha) = r\cos\alpha e ukramajya(\alpha) = r(1-\cos\alpha). Com r=1 e \sen\alpha = 0{,}6, temos \cos\alpha = 0{,}8, o que dá o mesmo resultado.
ukramajya(\alpha) = 0{,}2
Assunto: Teorema de Pitágoras e relações métricas.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗