Questão 1 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Plano cartesiano com eixos x e y, contendo o ponto P(x, y) ligado por linhas pontilhadas aos detectores D₀ na origem (0, 0), D₁ no eixo y a uma distância d da origem, e D₂ no eixo x a uma distância 2d da origem.

Canoas (RS) foi a primeira cidade da América Latina a instalar, em 2010, um sistema de segurança capaz de detectar disparos de armas de fogo. O funcionamento desse sistema consiste em medir os instantes da detecção desses disparos por alguns detectores sonoros instalados em pontos específicos da cidade. Considere que ocorreu um disparo no instante t = 0, que foi registrado pelos detectores \text{D}_0, \text{D}_1 e \text{D}_2, dispostos conforme ilustrado na figura, nos instantes t_0, t_1 e t_2, respectivamente. Determine as coordenadas (x,y) do ponto \text{P} em que ocorreu o disparo, em função dos instantes de detecção, da velocidade do som v e da distância d.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

1º semestre · 2º dia · Física: Ondas sonoras e acústica

Plano cartesiano com eixos x e y, contendo o ponto P(x, y) ligado por linhas pontilhadas aos detectores D₀ na origem (0, 0), D₁ no eixo y a uma distância d da origem, e D₂ no eixo x a uma distância 2d da origem.

Canoas (RS) foi a primeira cidade da América Latina a instalar, em 2010, um sistema de segurança capaz de detectar disparos de armas de fogo. O funcionamento desse sistema consiste em medir os instantes da detecção desses disparos por alguns detectores sonoros instalados em pontos específicos da cidade. Considere que ocorreu um disparo no instante t = 0, que foi registrado pelos detectores \text{D}_0, \text{D}_1 e \text{D}_2, dispostos conforme ilustrado na figura, nos instantes t_0, t_1 e t_2, respectivamente. Determine as coordenadas (x,y) do ponto \text{P} em que ocorreu o disparo, em função dos instantes de detecção, da velocidade do som v e da distância d.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) O som se propaga com velocidade constante v a partir do ponto \text{P} em t=0. Cada detector está a uma distância de \text{P} igual a v vezes o instante em que registrou o disparo. Os detectores estão em \text{D}_0(0,0), \text{D}_1(0,d) e \text{D}_2(2d,0). Então:

x^2+y^2=v^2t_0^2
x^2+(y-d)^2=v^2t_1^2
(x-2d)^2+y^2=v^2t_2^2

Cálculo de y. Subtraindo (1) de (2), os termos em x^2 e y^2 se cancelam:

-2dy+d^2=v^2(t_1^2-t_0^2)

y=\frac{d^2+v^2(t_0^2-t_1^2)}{2d}

Cálculo de x. Subtraindo (1) de (3):

-4dx+4d^2=v^2(t_2^2-t_0^2)

x=\frac{4d^2+v^2(t_0^2-t_2^2)}{4d}

Conferência. Se o disparo ocorresse em (d,d), teríamos v^2t_0^2=2d^2, v^2t_1^2=d^2 e v^2t_2^2=2d^2. Substituindo nas fórmulas, obtém-se x=d e y=d, como esperado.

Resposta: x=\dfrac{4d^2+v^2(t_0^2-t_2^2)}{4d} e y=\dfrac{d^2+v^2(t_0^2-t_1^2)}{2d}.

Assuntos: Ondas sonoras e acústica, Velocidade média e movimento uniforme.

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Questão 1 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗