PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2011
Os tipos sanguíneos no sistema ABO são determinados de acordo com a presença de certos tipos de antígenos na superfície das hemácias. Um indivíduo tem sangue tipo AB, por exemplo, se tiver antígenos A e B; tipo A se tiver apenas o antígeno A e tipo O se não tiver o antígeno A e nem o B. Em um grupo com 100 pessoas, verificou-se que 83 possuem o antígeno A e 69, o antígeno B. Considerando esse grupo,
a) determine quantas pessoas, no máximo, podem ter sangue tipo O; (2,0 pontos)
b) demonstre que mais da metade das pessoas tem sangue tipo AB. (3,0 pontos)
Reportar erro na questão
Resolução comentada
Resolução comentada
a) Seja x o número de pessoas com os dois antígenos (tipo AB) e y o número de pessoas do tipo O (nenhum antígeno). Pela inclusão-exclusão, quem tem pelo menos um antígeno soma:
Como o grupo tem 100 pessoas, y = 100 - (152 - x) = x - 52.
Para y ser máximo, x deve ser máximo. Quem tem o antígeno B são 69 pessoas, então x \le 69. Além disso, x \le 83, o que já está satisfeito. Com x = 69 temos y = 69 - 52 = 17.
Confirmando: 17 pessoas O, 69 AB e 14 do tipo A (apenas A, pois 83-69=14), total 17+69+14=100. Isso é possível.
No máximo 17 pessoas têm sangue tipo O.
b) Com x pessoas AB e y = x - 52 pessoas do tipo O, devemos ter y \ge 0. Portanto:
Assim, o número de pessoas AB é pelo menos 52, e 52 > 50, que é a metade de 100.
Outra forma de ver: as 83 pessoas com A e as 69 com B somam 152, ou seja, 52 a mais que o total de pessoas. Esse excesso só pode ser explicado por pessoas contadas duas vezes, isto é, que têm A e B. Logo há pelo menos 52 pessoas AB.
Como x \ge 52 > 50, mais da metade das pessoas tem sangue tipo AB. Demonstrado: há pelo menos 52 pessoas AB, mais que 50.
Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗