PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 14 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2011
Uma maneira de se estimar a área de uma região de formato irregular consiste em sobrepor a esta região uma malha quadriculada e ajustar à região um polígono com vértices nos nós da malha (pontos onde as linhas da malha se cruzam), como mostra a figura a seguir.
A área exata do polígono pode, então, ser calculada pela fórmula de Pick:
em que i é a quantidade de nós da malha no interior do polígono e b, a quantidade de nós sobre o contorno do polígono.
Considerando que os quadrados da malha apresentada tenham lado de 1 cm, determine a área do polígono utilizado para estimar a área da região destacada na figura. (5,0 pontos)
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Para usar a fórmula de Pick, é preciso contar os nós da malha sobre o contorno (b) e no interior (i) do polígono.
Posicionando a origem no canto inferior esquerdo da figura, os vértices do polígono são:
(0,0),\ (1,2),\ (0,4),\ (1,7),\ (2,9),\ (4,9),\ (5,7),\ (8,5),\ (8,7),\ (11,7),\ (11,4),\ (12,2),\ (11,1),\ (9,2),\ (6,1),\ (6,2),\ (5,4),\ (3,1)
Nós no contorno (b): são os 18 vértices mais os nós intermediários que ficam sobre os lados. Isso só acontece nos lados maiores, que passam por nós inteiros:
- de (2,9) a (4,9): 1 nó intermediário;
- de (8,5) a (8,7): 1 nó intermediário;
- de (8,7) a (11,7): 2 nós intermediários;
- de (11,7) a (11,4): 2 nós intermediários.
Assim, b = 18 + 6 = 24.
Nós no interior (i): contando linha a linha os nós estritamente dentro do polígono, obtém-se i = 50.
Conferência: a fórmula de Pick com esses valores dá
O resultado coincide com o da fórmula de Gauss (determinantes) aplicada às coordenadas dos vértices, cuja soma é 122 em módulo, e \frac{122}{2}=61.
Como cada quadrado da malha tem 1\ \text{cm}^2:
Área = 61\ \text{cm}^2
Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗