Questão 10 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

Dados dois polinômios p(x) e q(x), as abscissas dos pontos de intersecção dos seus gráficos são as soluções da equação algébrica p(x)=q(x). Considere os polinômios p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 e q(x)=3-2x. Determine os valores de a_0, a_1 e a_2 para que os polinômios p(x) e q(x) se intersectem nos pontos de abscissa -2, 3 e 4. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

1º semestre · 2º dia · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Dados dois polinômios p(x) e q(x), as abscissas dos pontos de intersecção dos seus gráficos são as soluções da equação algébrica p(x)=q(x). Considere os polinômios p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 e q(x)=3-2x. Determine os valores de a_0, a_1 e a_2 para que os polinômios p(x) e q(x) se intersectem nos pontos de abscissa -2, 3 e 4. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Como -2, 3 e 4 são as abscissas dos pontos de interseção dos gráficos de p e q, a equação algébrica p(x)=q(x) deve ser satisfeita para esses valores de x.

Assim, tem-se as seguintes equações

\begin{cases} p(-2) = q(-2) \\ p(3) = q(3) \\ p(4) = q(4) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a_0 - 2a_1 + 4a_2 = 15 \\ a_0 + 3a_1 + 9a_2 = -30 \\ a_0 + 4a_1 + 16a_2 = -69 \end{cases}

Resolvendo esse sistema, obtém-se que a_0=27, a_1=-4 e a_2=-5. (5,0 pontos)

Critérios de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, utilizou corretamente a informação dos pontos de intersecção dos gráficos dos polinômios e resolveu corretamente o sistema de equações gerado a partir disso. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

As abscissas dos pontos de intersecção são as raízes de p(x)-q(x)=0. Calculamos:

p(x)-q(x)=x^3+a_2x^2+(a_1+2)x+(a_0-3)

Esse polinômio é mônico e de grau 3. Como tem raízes -2, 3 e 4, ele se fatora assim:

p(x)-q(x)=(x+2)(x-3)(x-4)

Desenvolvendo o produto:

(x+2)(x-3)=x^2-x-6
(x^2-x-6)(x-4)=x^3-4x^2-x^2+4x-6x+24=x^3-5x^2-2x+24

Igualando os coeficientes de

x^3+a_2x^2+(a_1+2)x+(a_0-3)=x^3-5x^2-2x+24

temos:

a_2=-5
a_1+2=-2\Rightarrow a_1=-4
a_0-3=24\Rightarrow a_0=27

Verificação com p(x)=x^3-5x^2-4x+27 e q(x)=3-2x:

Em x=-2: p(-2)=-8-20+8+27=7 e q(-2)=3+4=7.
Em x=3: p(3)=27-45-12+27=-3 e q(3)=3-6=-3.
Em x=4: p(4)=64-80-16+27=-5 e q(4)=3-8=-5.

Os valores pedidos são a_0=27, a_1=-4 e a_2=-5.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.

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Questão 10 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗