Questão 10 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

O primeiro século do império muçulmano, que durou dos anos 650 a 750, foi destituído de realizações científicas. Graças ao súbito despertar cultural do Islã, na segunda metade do século oitavo, estabeleceu-se em Bagdá a “Casa da Sabedoria” (Bait al-hikma), na qual havia um mestre matemático e astrônomo chamado Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi, autor de uma das mais importantes obras dessa época, o livro intitulado “Al-jabr Wa'l muqabalah”. Nessa obra, cujo título fez surgir o termo álgebra, al-Khowarizmi desafia o leitor a

Dividir dez em duas partes de modo que a soma dos produtos obtidos multiplicando cada parte por si mesma seja igual a cinquenta e oito.

BOYER, C. B. História da Matemática. 2.ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. p. 159. (Adaptado)

Sendo x uma dessas duas partes, encontre a equação que representa o desafio, em função de x, e calcule o valor de cada uma dessas partes. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

2º semestre · 2º dia · Matemática: Equação do 2º grau

O primeiro século do império muçulmano, que durou dos anos 650 a 750, foi destituído de realizações científicas. Graças ao súbito despertar cultural do Islã, na segunda metade do século oitavo, estabeleceu-se em Bagdá a “Casa da Sabedoria” (Bait al-hikma), na qual havia um mestre matemático e astrônomo chamado Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi, autor de uma das mais importantes obras dessa época, o livro intitulado “Al-jabr Wa'l muqabalah”. Nessa obra, cujo título fez surgir o termo álgebra, al-Khowarizmi desafia o leitor a

Dividir dez em duas partes de modo que a soma dos produtos obtidos multiplicando cada parte por si mesma seja igual a cinquenta e oito.

BOYER, C. B. História da Matemática. 2.ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. p. 159. (Adaptado)

Sendo x uma dessas duas partes, encontre a equação que representa o desafio, em função de x, e calcule o valor de cada uma dessas partes. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Seja x uma das partes. Logo, a outra parte é 10 - x .

Ao multiplicar cada parte por si mesma e efetuar a soma, que é igual a 58, obtém-se a equação quadrática que representa o desafio:

x^2 + (10 - x)^2 = 58

Esta equação é equivalente a:

x^2 + 100 - 20\text{ }x + x^2 = 58 \raiz 2x^2 - 20\text{ }x + 42 = 0 \raiz x^2 - 10\text{ }x + 21 = 0

Assim,

x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \times 21}}{2} = \frac{10 \pm 4}{2} \Rightarrow \quad x = 3 \quad \text{ou} \quad x = 7

Portanto, as partes são 3 e 7. (5,0 pontos)

Critério de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, expressou corretamente a equação que representa o desafio, resolvendo-a corretamente para calcular as partes solicitadas. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) As duas partes somam 10. Se uma delas é x, a outra é 10-x.

O enunciado diz que a soma dos quadrados das partes (cada parte multiplicada por ela mesma) é 58:

x^2+(10-x)^2=58

Desenvolvendo:

x^2+100-20x+x^2=58
2x^2-20x+42=0
Dividindo por 2: x^2-10x+21=0

As raízes saem por soma e produto (soma 10, produto 21) ou por Bhaskara:

x=\frac{10\pm\sqrt{100-84}}{2}=\frac{10\pm 4}{2}

Logo x=7 ou x=3.

Se x=7, a outra parte é 10-7=3; se x=3, a outra é 7. As duas soluções descrevem o mesmo par de partes.

Conferindo: 7^2+3^2=49+9=58 ✓.

A equação é x^2+(10-x)^2=58 (equivalente a x^2-10x+21=0) e as partes são 3 e 7.

Assunto: Equação do 2º grau.

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Questão 10 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗