PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 16 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2010
No plano cartesiano, as retas r e s, de equações 2x-3y+3=0 e x+3y-1=0, respectivamente, se intersectam em um ponto C. Considerando o ponto P(0,-4), determine as coordenadas de dois pontos, A \in r e B \in s, de modo que o segmento CP seja uma mediana do triângulo ABC.
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Resolução comentada
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a) Primeiro achamos o ponto C, a interseção das retas. Somando as equações 2x-3y+3=0 e x+3y-1=0, o termo em y some:
De x+3y-1=0 vem 3y=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}, logo y=\frac{5}{9}. Então C\left(-\frac{2}{3},\frac{5}{9}\right).
Como CP é mediana relativa ao vértice C, o ponto P é o ponto médio de AB.
Ponha A\left(a,\frac{2a+3}{3}\right)\in r e B\left(b,\frac{1-b}{3}\right)\in s. Isso vem de isolar y em cada reta. Com P(0,-4) como ponto médio:
- Abscissas: \frac{a+b}{2}=0 \Rightarrow b=-a.
- Ordenadas: \frac{1}{2}\left(\frac{2a+3}{3}+\frac{1-b}{3}\right)=-4 \Rightarrow 2a+4-b=-24 \Rightarrow 2a-b=-28.
- Substituindo b=-a: 3a=-28, então a=-\frac{28}{3} e b=\frac{28}{3}.
As ordenadas são:
- y_A=\frac{2(-28/3)+3}{3}=\frac{-47/3}{3}=-\frac{47}{9}
- y_B=\frac{1-28/3}{3}=\frac{-25/3}{3}=-\frac{25}{9}
Conferindo, \frac{-47/9-25/9}{2}=-4, que é a ordenada de P.
Resposta: A\left(-\frac{28}{3},-\frac{47}{9}\right) e B\left(\frac{28}{3},-\frac{25}{9}\right).
Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗