Questão 15 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

Dados experimentais indicam que a dilatação linear experimentada por um objeto material é proporcional ao seu comprimento inicial (L_0) e à variação da temperatura a que é submetido (\Delta T), sendo que a constante de proporcionalidade, denominada de coeficiente de dilatação linear (\alpha), depende do material utilizado.

Um fio de alumínio (\alpha=25\text{x}10^{-6}\ ^\circ C^{-1}) de 10 m de comprimento está a uma temperatura de 20 ^\circ C, e é fixado pelas extremidades entre dois suportes, cuja distância é de 10 m. Um peso é colocado em seu ponto médio, de modo que o fio possa ser considerado reto entre o ponto médio e cada extremidade. Caso o fio seja aquecido, atingindo uma temperatura de 40 ^\circ C, ele sofrerá uma dilatação, de modo que o ponto médio estará a uma distância H da horizontal, como mostrado na figura. Nessa situação, qual é o valor de H em centímetros?

Esquema mostrando dois suportes verticais separados por uma distância horizontal de 10 m, com uma linha pontilhada horizontal conectando os pontos de fixação do fio. O fio forma um triângulo com vértice para baixo, onde a deflexão vertical no ponto médio é indicada por uma seta de comprimento H.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2010

1º semestre · 1º dia · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Dados experimentais indicam que a dilatação linear experimentada por um objeto material é proporcional ao seu comprimento inicial (L_0) e à variação da temperatura a que é submetido (\Delta T), sendo que a constante de proporcionalidade, denominada de coeficiente de dilatação linear (\alpha), depende do material utilizado.

Um fio de alumínio (\alpha=25\text{x}10^{-6}\ ^\circ C^{-1}) de 10 m de comprimento está a uma temperatura de 20 ^\circ C, e é fixado pelas extremidades entre dois suportes, cuja distância é de 10 m. Um peso é colocado em seu ponto médio, de modo que o fio possa ser considerado reto entre o ponto médio e cada extremidade. Caso o fio seja aquecido, atingindo uma temperatura de 40 ^\circ C, ele sofrerá uma dilatação, de modo que o ponto médio estará a uma distância H da horizontal, como mostrado na figura. Nessa situação, qual é o valor de H em centímetros?

Esquema mostrando dois suportes verticais separados por uma distância horizontal de 10 m, com uma linha pontilhada horizontal conectando os pontos de fixação do fio. O fio forma um triângulo com vértice para baixo, onde a deflexão vertical no ponto médio é indicada por uma seta de comprimento H.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

A dilatação do fio é dada por \Delta L = \alpha \times \Delta T \times L_0 = 25 \times 10^{-6} \times 10 \times 20 = \frac{5}{1000}\text{ m}.

Utilizando o Teorema de Pitágoras, H deve satisfazer a equação

H^2 = \left(5 + \frac{\Delta L}{2}\right)^2 - 25 = 5\,\Delta L + \frac{(\Delta L)^2}{4}

Substituindo o valor de \Delta L obtido acima, obtém-se que

H^2 = \frac{25}{1000} + \frac{6{,}25}{1000000} = \frac{25{,}00625}{1000}

Assim, H \approx \frac{5}{\sqrt{1000}} \approx 0{,}158\text{ m}, ou H \approx 15{,}8\text{ cm}.

(5,0 pontos)

Critério de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, calculou corretamente a dilatação do fio e a distância, H, da horizontal, após o fio ser aquecido, utilizando as relações métricas no triângulo retângulo. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Primeiro calculamos a dilatação do fio com a lei dada no enunciado, \Delta L=\alpha L_0\,\Delta T:

\Delta L=25\times10^{-6}\cdot 10\cdot(40-20)=5\times10^{-3}\ \text{m}

O fio passa a ter 10{,}005\ \text{m}. Os suportes continuam a 10\ \text{m} um do outro, então o fio forma dois lados iguais de um triângulo isósceles.

Cada metade do fio mede 5{,}0025\ \text{m}. A projeção horizontal de cada metade é 5\ \text{m}, metade da distância entre os suportes. H é o cateto vertical do triângulo retângulo formado:

H^2=(5{,}0025)^2-5^2=(5{,}0025-5)(5{,}0025+5)=0{,}0025\cdot 10{,}0025

H^2\approx 0{,}025\ \text{m}^2\quad\Rightarrow\quad H\approx\sqrt{0{,}025}\approx 0{,}158\ \text{m}

O termo 0{,}0025^2 é desprezível, pois mudaria H só na quinta casa decimal. Em centímetros:

H\approx 15{,}8\ \text{cm} (aproximadamente 16\ \text{cm})

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Unidades de medida e conversões.

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Questão 15 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗