Questão 16 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

Considere no plano cartesiano, duas retas, r e s, cujas equações são, respectivamente, dadas por y = x - 5 e y = 2x + 12. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(1,3) e intersecta r e s nos pontos A e B, com A \in r e B \in s, de modo que o ponto P seja o ponto médio do segmento AB.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2010

1º semestre · 1º dia · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Considere no plano cartesiano, duas retas, r e s, cujas equações são, respectivamente, dadas por y = x - 5 e y = 2x + 12. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(1,3) e intersecta r e s nos pontos A e B, com A \in r e B \in s, de modo que o ponto P seja o ponto médio do segmento AB.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Seja A(x_1, y_1) e B(x_2, y_2), com A \tin r e B \tin s, tem-se:

A(x_1, x_1 - 5) \quad \text{e} \quad B(x_2, 2x_2 + 12)\;.

Como P é o ponto médio de AB, tem-se que:

\frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \quad \text{e} \quad \frac{x_1 - 5 + 2x_2 + 12}{2} = 3

O que equivale a:

\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 + 2x_2 = -1 \end{cases}

Resolvendo o sistema, tem-se que x_2 = -3 e que B(-3, 6).

Assim, o coeficiente angular da reta é dado por:

y - 3 = m(x - 1) \Rightarrow m = \frac{6 - 3}{-3 - 1} = -\frac{3}{4}

e a equação da reta é:

y = -\frac{3}{4}x + \frac{3}{4} + 3 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4}

(5,0 pontos)

Critério de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, utilizando o fato de que o ponto P é o ponto médio do segmento AB e o fato de que os pontos A e B pertencem às retas r e s, respectivamente, determinou corretamente as coordenadas de um dos dois pontos para encontrar a equação da reta solicitada. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Se A\in r, então A=(a,\ a-5). Se B\in s, então B=(b,\ 2b+12).

P(1,3) é ponto médio de AB quando cada coordenada de P é a média das coordenadas de A e B:

Abscissas: \dfrac{a+b}{2}=1 \Rightarrow a+b=2.
Ordenadas: \dfrac{(a-5)+(2b+12)}{2}=3 \Rightarrow a+2b=-1.

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos b=-3. Então a=5.

Logo A=(5,0) e B=(-3,6). Conferindo: \left(\dfrac{5-3}{2},\dfrac{0+6}{2}\right)=(1,3)=P.

O coeficiente angular da reta AB é

m=\frac{6-0}{-3-5}=-\frac{3}{4}.

A reta passa por P(1,3):

y-3=-\frac{3}{4}(x-1)\ \Rightarrow\ 3x+4y=15.

Conferindo: A dá 15+0=15 e B dá -9+24=15.

Equação da reta: y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{15}{4}, ou seja, 3x+4y-15=0.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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Questão 16 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗