Questão 13 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

Na figura abaixo, a circunferência \lambda, de raio 1, é tangente ao eixo x, enquanto o segmento de reta ligando os pontos A e B é tangente à circunferência no ponto P.

No plano cartesiano, um segmento de reta liga o ponto B no semi-eixo y positivo ao ponto A no semi-eixo x positivo. Uma circunferência lambda, situada no primeiro quadrante, é tangente ao eixo x e tangente ao segmento AB no ponto P.

Considerando que o ponto A tem abscissa \frac{5\sqrt{3}}{2} e que o ponto B tem ordenada \frac{15}{2}, encontre as coordenadas do centro da circunferência \lambda.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2010

2º semestre · 1º dia · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Na figura abaixo, a circunferência \lambda, de raio 1, é tangente ao eixo x, enquanto o segmento de reta ligando os pontos A e B é tangente à circunferência no ponto P.

No plano cartesiano, um segmento de reta liga o ponto B no semi-eixo y positivo ao ponto A no semi-eixo x positivo. Uma circunferência lambda, situada no primeiro quadrante, é tangente ao eixo x e tangente ao segmento AB no ponto P.

Considerando que o ponto A tem abscissa \frac{5\sqrt{3}}{2} e que o ponto B tem ordenada \frac{15}{2}, encontre as coordenadas do centro da circunferência \lambda.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

[Figura: Representação no primeiro quadrante do plano cartesiano com os eixos x e y se interceptando na origem C. O triângulo retângulo ABC possui o vértice B sobre o eixo y e o vértice A sobre o eixo x. Uma circunferência de centro O tangencia o eixo x no ponto T e a hipotenusa AB no ponto P.]

Seja O o centro da circunferência \lambda e \overline{OT} a medida do seu raio, que é perpendicular ao eixo das abscissas. Observando o triângulo ABC, tem-se:

tg(B\hat{A}C) = \frac{\dfrac{15}{2}}{5\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow B\hat{A}C = 60^\circ

Logo,

T\hat{A}O = 30^\circ \Rightarrow tg(T\hat{A}O) = \frac{\overline{OT}}{\overline{AT}} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\overline{AT}} \Rightarrow \overline{AT} = \sqrt{3}

Assim, a abscissa, CT, do centro da circunferência \lambda é:

\overline{CT} = \frac{5\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

As coordenadas do centro da circunferência \lambda são: \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}, 1\right) (5,0 pontos)

Critério de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato utilizou corretamente as relações métricas no triângulo ABC e ATO para calcular o ângulo do vértice B e o segmento AT e utilizou corretamente esses dados para calcular as coordenadas do centro da circunferência. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Como \lambda tem raio 1 e é tangente ao eixo x (por cima dele), o centro é C=(h,\,1). Falta achar h.

A reta AB passa por A\left(\frac{5\sqrt3}{2},0\right) e B\left(0,\frac{15}{2}\right). Na forma segmentária:

\frac{x}{5\sqrt3/2}+\frac{y}{15/2}=1 \;\Rightarrow\; \frac{2x}{5\sqrt3}+\frac{2y}{15}=1.

Multiplicando por 15 e usando \frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3, obtemos

2\sqrt3\,x+2y-15=0.

Como AB é tangente a \lambda, a distância de C à reta é igual ao raio:

\frac{|2\sqrt3\,h+2-15|}{\sqrt{(2\sqrt3)^2+2^2}}=1 \;\Rightarrow\; \frac{|2\sqrt3\,h-13|}{4}=1.

Logo 2\sqrt3\,h-13=\pm4, o que dá h=\frac{3\sqrt3}{2} ou h=\frac{17\sqrt3}{6}.

A figura mostra a circunferência do lado da origem em relação à reta AB, isto é, com 2\sqrt3\,h-13<0. Isso corresponde a 2\sqrt3\,h-13=-4, ou seja, h=\frac{9}{2\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{2}. A outra raiz dá h\approx4{,}9, maior que a abscissa de A (\approx4{,}33), então o centro ficaria fora da região da figura.

Conferindo por geometria: a reta tem coeficiente angular -\sqrt3, então o ângulo em A mede 60^\circ. O centro está na bissetriz desse ângulo, e a distância horizontal de C a A é \frac{1}{\tg 30^\circ}=\sqrt3. Assim, h=\frac{5\sqrt3}{2}-\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}, o mesmo valor.

Centro: \left(\dfrac{3\sqrt3}{2},\,1\right)

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Questão 13 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗