Questão 11 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

Um recipiente tem a forma de um cilindro circular reto de 10 cm de diâmetro e está com água até a metade. Nesse recipiente é colocado um ovo que, em virtude de sua idade, já está parcialmente desidratado, tendo uma densidade de 0{,}95\text{ g/cm}^3. Considerando que o volume do ovo é de 60\text{ cm}^3 e que ele ficará parcialmente submerso na água, calcule a variação do nível da água no recipiente, em centímetros.

Use: \pi = 3{,}14

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

2º semestre · 2º dia · Matemática: Cilindro

Um recipiente tem a forma de um cilindro circular reto de 10 cm de diâmetro e está com água até a metade. Nesse recipiente é colocado um ovo que, em virtude de sua idade, já está parcialmente desidratado, tendo uma densidade de 0{,}95\text{ g/cm}^3. Considerando que o volume do ovo é de 60\text{ cm}^3 e que ele ficará parcialmente submerso na água, calcule a variação do nível da água no recipiente, em centímetros.

Use: \pi = 3{,}14

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

O empuxo exercido pelo fluído tem intensidade igual à intensidade do peso do ovo, porém com sentido contrário. Como a densidade do ovo de 0{,}95\text{ g/cm}^3 é menor do que a densidade da água de 1\text{ g/cm}^3, o ovo fica parcialmente submerso. Denotando por V_{\text{o}} o volume do ovo e por V_1 o volume da parte submersa, tem-se, pelo princípio de Arquimedes, que a intensidade do empuxo é dada por:

E = V_1 \cdot 1 \cdot g

Por outro lado, a intensidade do peso do ovo é dada por:

P = V_{\text{o}} \cdot 0{,}95 \cdot g

Logo, da igualdade de E e P, conclui-se que:

V_1 = 0{,}95\, V_{\text{o}} = 0{,}95 \cdot 60 = 57\ cm^3

O nível da água aumentará \Delta H, em correspondência ao acréscimo de 57\text{ cm}^3 no volume ocupado pela água e pela parcela mergulhada do ovo. Como o raio do recipiente cilíndrico é de 5\text{ cm}, segue-se que:

\pi \cdot 5^2 \cdot \Delta H = 57 \Rightarrow \Delta H = \frac{57}{25 \cdot \pi} = \frac{2{,}28}{\pi} \approx 0{,}726

Assim, a variação do nível da água no recipiente será de, aproximadamente, 0{,}726\text{ cm}.

(5,0 pontos)

Critério de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, utilizou o princípio de Arquimedes e a intensidade do peso do ovo para calcular corretamente o volume da parte submersa do ovo e utilizou o conceito de volume de um cilindro para calcular corretamente a variação do nível da agua no recepiente. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Resolução comentada

a) Como a densidade do ovo (0{,}95\ \text{g/cm}^3) é menor que a da água (1\ \text{g/cm}^3), o ovo flutua, parcialmente submerso. Nessa situação vale o princípio de Arquimedes: o empuxo é igual ao peso do ovo. Assim, o peso da água deslocada é igual ao peso do ovo, e a massa de água deslocada é igual à massa do ovo.

Massa do ovo: m = 0{,}95 \cdot 60 = 57\ \text{g}.
Volume de água deslocada, com a água a 1\ \text{g/cm}^3: V_d = \dfrac{57}{1} = 57\ \text{cm}^3.
Área da base do cilindro, com raio 5\ \text{cm}: A = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5\ \text{cm}^2.

O volume deslocado equivale a um cilindro de mesma base que o recipiente e altura igual à variação do nível \Delta h:

\Delta h = \frac{V_d}{A} = \frac{57}{78{,}5} \approx 0{,}73\ \text{cm}

O volume total do ovo (60 cm³) não entra no cálculo, porque o ovo não fica totalmente submerso. O nível da água sobe aproximadamente 0,73 cm.

Assuntos: Cilindro, Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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Questão 11 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗