Questão 12 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

Uma empresa fabrica dois tipos de embalagens, na forma de cubo e na forma de cilindro equilátero, nos quais a altura é igual ao diâmetro da base. A empresa pretende fabricar as caixas com o mesmo material, de modo que ambas tenham a mesma área superficial.

Nestas condições, determine qual tipo de embalagem tem o maior volume e encontre a relação entre os volumes desses dois tipos de embalagem. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

2º semestre · 2º dia · Matemática: Cilindro

Uma empresa fabrica dois tipos de embalagens, na forma de cubo e na forma de cilindro equilátero, nos quais a altura é igual ao diâmetro da base. A empresa pretende fabricar as caixas com o mesmo material, de modo que ambas tenham a mesma área superficial.

Nestas condições, determine qual tipo de embalagem tem o maior volume e encontre a relação entre os volumes desses dois tipos de embalagem. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

As áreas superficiais, A_1, de um cilindro equilátero de raio R, e A_2, de um cubo de aresta a, são dadas, respectivamente, por:

A_1 = \pi R^2 \times 2 + 2\pi R \times 2R = 6\pi R^2 \quad\text{e}\quad A_2 = 6a^2

Como as áreas superficiais das duas embalagens são iguais, tem-se:

A_1 = A_2 \Rightarrow 6\pi R^2 = 6a^2 \Rightarrow a^2 = \pi R^2 \Rightarrow a = R\sqrt{\pi}

Assim, a razão entre o volume do cilindro, V_1, e o volume do cubo, V_2, é:

\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi R^2 \times 2R}{a^3} = \frac{2\pi R^3}{a^3}

Substituindo a equação anterior nesta última, tem-se que a relação entre o volume da embalagem cilíndrica e o volume da embalagem cúbica:

\frac{V_1}{V_2} = \frac{2\pi R^3}{(R\sqrt{\pi})^3} = \frac{2\pi R^3}{R^3 \pi \sqrt{\pi}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \Rightarrow V_2 = \frac{\sqrt{\pi}}{2} V_1

Como \frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0{,}886 < 1 \Rightarrow V_2 < V_1. Ou seja, a embalagem cilíndrica tem maior volume.

(5,0 pontos)

Critério de correção]

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, utilizou o conceito de área superficial de um cubo e de um cilindro para relacionar o raio do cilindro e a aresta do cubo, utilizou o conceito de volume desses dois sólidos para calcular a relação entre eles e interpretou corretamente o resultado para responder qual embalagem tem maior volume. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Resolução comentada

a)

Seja a a aresta do cubo e r o raio da base do cilindro equilátero, cuja altura é h = 2r.

Áreas superficiais

Cubo: A_c = 6a^2.
Cilindro: duas bases mais a lateral, A_{cil} = 2\pi r^2 + 2\pi r\cdot 2r = 6\pi r^2.

Como as áreas são iguais:

6a^2 = 6\pi r^2 \Rightarrow a^2 = \pi r^2 \Rightarrow a = r\sqrt{\pi}

Volumes

Cubo: V_c = a^3 = \pi\sqrt{\pi}\,r^3.
Cilindro: V_{cil} = \pi r^2\cdot 2r = 2\pi r^3.

Comparação

\frac{V_{cil}}{V_c} = \frac{2\pi r^3}{\pi\sqrt{\pi}\,r^3} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \approx \frac{2}{1{,}77} \approx 1{,}13

Como 2/\sqrt{\pi} > 1, ou seja, 4 > \pi, o cilindro tem o maior volume.

A embalagem cilíndrica tem o maior volume, e V_{cil} = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\,V_{cubo} \approx 1{,}13\,V_{cubo}, cerca de 13% maior.

Assuntos: Cilindro, Prismas e paralelepípedos.

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Questão 12 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗