Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

Para a construção de uma pousada, deseja-se cercar três lados de um terreno situado às margens de um rio, de modo que ele fique com a forma retangular, conforme a figura abaixo.

Figura mostrando um terreno retangular situado à margem de um rio, representado por uma faixa cinza horizontal na base com o rótulo "Rio". Os dois lados perpendiculares ao rio têm medida indicada por x e o lado paralelo ao rio, oposto à margem, tem medida indicada por y.

Sabe-se que o metro linear da cerca paralela ao rio custa R$ 12,00, das cercas perpendiculares ao rio custam R$ 8,00 e que o proprietário irá gastar R$ 3.840,00 com a construção total da cerca.

Nessas condições, construa o gráfico da função que representa a área do terreno, em função da dimensão x, e determine as dimensões do terreno para que a sua área seja máxima. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2009

2º semestre · 1º dia · Matemática: Função quadrática

Para a construção de uma pousada, deseja-se cercar três lados de um terreno situado às margens de um rio, de modo que ele fique com a forma retangular, conforme a figura abaixo.

Figura mostrando um terreno retangular situado à margem de um rio, representado por uma faixa cinza horizontal na base com o rótulo "Rio". Os dois lados perpendiculares ao rio têm medida indicada por x e o lado paralelo ao rio, oposto à margem, tem medida indicada por y.

Sabe-se que o metro linear da cerca paralela ao rio custa R$ 12,00, das cercas perpendiculares ao rio custam R$ 8,00 e que o proprietário irá gastar R$ 3.840,00 com a construção total da cerca.

Nessas condições, construa o gráfico da função que representa a área do terreno, em função da dimensão x, e determine as dimensões do terreno para que a sua área seja máxima. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

O preço da cerca em função da medida das dimensões x e y é dado por:

12y + 16x = 3.840

Donde obtém-se a dimensão y em função da dimensão x:

y = \frac{3.840 - 16x}{12} = \frac{960 - 4x}{3}

A área do terreno em função da dimensão x e da y é:

A = x.y

Substituindo a equação anterior na equação da área, obtém-se a área em função da dimensão x:

A(x) = x\bigg(\frac{960 - 4x}{3}\bigg) = \frac{-4x^2}{3} + \frac{960x}{3}

As raízes dessa função são:

x = 0 \text{ ou } x = 240\text{ .}

O vértice V dessa parábola é dado pelas coordenadas:

x_v = \frac{-\ b}{2\text{a}} = 120 \text{ \te \t} y_v = \frac{-(b^2 - 4\text{ac})}{4\text{a}} = 19.200

Com esses pontos, obtém-se o gráfico de \text{A}(x):

[Figura: Gráfico cartesiano de uma parábola com concavidade voltada para baixo, representando a função de área A(x) no eixo vertical versus a dimensão x no eixo horizontal. A curva intercepta o eixo horizontal na origem 0 e no ponto 240. O vértice da parábola está no ponto (120; 19.200), indicado por linhas tracejadas perpendiculares aos eixos.]

Como o vértice dessa parábola indica a área máxima do terreno, tem-se que x = 120\text{ m} é uma das dimensões do terreno cuja área é máxima, com 19.200\text{ m}^2. A outra dimensão do terreno é:

y = \frac{19.200}{120} = 160\text{ m} \qquad (5,0\text{ pontos})

Critérios de correção:

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, utilizando a informação sobre o perímetro do terreno a ser cercado, obtendo a função quadrática que determina a área, em função da dimensão x, obtendo os valores das dimensões do terreno que possui a área máxima, além de esboçar o gráfico da função corretamente. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Chame de x os dois lados perpendiculares ao rio e de y o lado paralelo a ele. O lado junto ao rio não é cercado.

Custo da cerca. A cerca paralela custa R$ 12,00 por metro e as duas perpendiculares custam R$ 8,00 por metro cada:

12y + 2\cdot 8x = 3840 \;\Rightarrow\; 12y + 16x = 3840 \;\Rightarrow\; y = 320 - \frac{4}{3}x

Função área. Como A = x\cdot y:

A(x) = x\left(320 - \frac{4}{3}x\right) = -\frac{4}{3}x^2 + 320x

Para que y>0 é preciso x<240, então o domínio é 0<x<240.

Gráfico. É um arco de parábola com concavidade para baixo, pois a=-\frac43<0:

Raízes: x=0 e x=240, pois x\left(320-\frac43x\right)=0.
Vértice: x_v = \dfrac{-320}{2\cdot(-4/3)} = 120, que é o ponto médio das raízes.
Valor máximo: A(120) = 320\cdot120 - \frac43\cdot 14400 = 38400 - 19200 = 19200.

Para o desenho, marque os pontos (0,0), (120;\,19200) e (240,0) e trace a parábola passando por eles. Só o trecho entre x=0 e x=240 serve para o problema, com as extremidades "abertas".

Dimensões de área máxima. A área máxima ocorre em x=120 m. Então:

y = 320 - \frac43\cdot120 = 320-160 = 160\ \text{m}

Conferindo o custo: 12\cdot160 + 16\cdot120 = 1920+1920 = 3840. Está correto.

Os lados perpendiculares ao rio medem 120\ \text{m} e o lado paralelo mede 160\ \text{m}, com área máxima de 19\,200\ \text{m}^2.

Assuntos: Função quadrática, Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 16 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 2º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗