Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

A chamada equação dos fabricantes de lentes (equação de Halley) permite determinar os elementos geométricos de uma lente de faces esféricas, uma vez conhecidos a distância focal da lente (f), os índices de refração da lente (n_2) e o meio em que a lente está (n_1). Esta equação é a seguinte:

\frac{1}{f} = \left(\frac{n_2}{n_1} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)

Considere uma lente de distância focal f = 4\ \text{cm}, com índice de refração n_2 = \frac{4}{3}, imersa no ar, e admita que a velocidade da luz no ar é igual à velocidade no vácuo. Se a espessura da lente é de 1\ \text{cm} e a distância entre os centros (C_1 \text{ e } C_2) é de 5\ \text{cm}, determine os raios R_1 e R_2. (5,0 pontos)

Diagrama de uma lente biconvexa vertical de espessura igual a 1 cm, atravessada por um eixo horizontal que contém os centros de curvatura C1 (à esquerda da lente) e C2 (à direita da lente). Uma seta parte de C1 até a face direita da lente, indicando o raio R1, e outra seta parte de C2 até a face esquerda da lente, indicando o raio R2.

Answer 1

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Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2009

1º semestre · 1º dia · Matemática: Equação do 2º grau

A chamada equação dos fabricantes de lentes (equação de Halley) permite determinar os elementos geométricos de uma lente de faces esféricas, uma vez conhecidos a distância focal da lente (f), os índices de refração da lente (n_2) e o meio em que a lente está (n_1). Esta equação é a seguinte:

\frac{1}{f} = \left(\frac{n_2}{n_1} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)

Considere uma lente de distância focal f = 4\ \text{cm}, com índice de refração n_2 = \frac{4}{3}, imersa no ar, e admita que a velocidade da luz no ar é igual à velocidade no vácuo. Se a espessura da lente é de 1\ \text{cm} e a distância entre os centros (C_1 \text{ e } C_2) é de 5\ \text{cm}, determine os raios R_1 e R_2. (5,0 pontos)

Diagrama de uma lente biconvexa vertical de espessura igual a 1 cm, atravessada por um eixo horizontal que contém os centros de curvatura C1 (à esquerda da lente) e C2 (à direita da lente). Uma seta parte de C1 até a face direita da lente, indicando o raio R1, e outra seta parte de C2 até a face esquerda da lente, indicando o raio R2.

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Admitindo-se que a velocidade da luz no ar ( v_1 ) é igual à velocidade da luz no vácuo ( c ), então

n_1 = \frac{c}{v_1} = 1

Observando a figura, verifica-se que

R_1 + R_2 - 1 = 5 \Rightarrow R_1 + R_2 = 6

Utilizando-se a equação de Halley, tem-se

\frac{1}{4} = \left(\frac{4/3}{1} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{1}{3}\left(\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}\right) \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{6}{R_1 R_2} \Rightarrow R_1 R_2 = 8

Assim, dessas duas equações envolvendo R_1 e R_2 , obtém-se:

R_1 R_2 = 8 \Rightarrow R_1 (6 - R_1) = 8 \Rightarrow R_1^2 - 6R_1 + 8 = 0

cujas raízes são:

R_1' = \frac{6+2}{2} = 4\text{cm} \quad \text{e} \quad R_1'' = \frac{6-2}{2} = 2\text{cm}

Logo, como R_1 + R_2 = 6 , tem-se que

R_2' = 6 - 4 = 2\text{cm} \quad \textbf{ou} \quad R_2'' = 6 - 2 = 4\text{cm}

Portanto, os raios das faces esféricas das lentes são:

R_1 = 4\text{cm} \quad \text{e} \quad R_2 = 2\text{cm} \quad \text{ou} \quad R_1 = 4\text{cm} \quad \text{e} \quad R_2 = 2\text{cm}

(5,0 pontos)

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que utilizou corretamente o fato de que a velocidade da luz no ar é igual à velocidade da luz no vácuo, que usou corretamente as informações da figura e resolveu corretamente a equação do segundo grau associada ao problema. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) No ar, n_1 = 1, porque a velocidade da luz no ar é a do vácuo. Então \frac{n_2}{n_1}-1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}.

Substituindo f=4\ \text{cm} na equação de Halley:

\frac{1}{4}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)\ \Rightarrow\ \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{3}{4}\quad (\text{I})

Relação geométrica. Tome C_1 como origem do eixo, de modo que C_2 fica na posição 5\ \text{cm}.

A face direita da lente está a R_1 de C_1, na posição R_1.
A face esquerda está a R_2 de C_2, na posição 5-R_2.

A espessura da lente é a diferença entre essas posições:

R_1-(5-R_2)=1\ \Rightarrow\ R_1+R_2=6\quad (\text{II})

Resolvendo. Escrevendo (I) com denominador comum:

\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}=\frac{3}{4}\ \Rightarrow\ \frac{6}{R_1R_2}=\frac{3}{4}\ \Rightarrow\ R_1R_2=8

Assim, R_1 e R_2 têm soma 6 e produto 8, ou seja, são as raízes de

x^2-6x+8=0\ \Rightarrow\ x=\frac{6\pm 2}{2}\ \Rightarrow\ x=4\ \text{ou}\ x=2.

Na figura, o raio R_1 (de C_1 até a face direita) é maior que R_2. Logo R_1=4\ \text{cm} e R_2=2\ \text{cm}.

Conferindo: \frac14+\frac12=\frac34 e 4+2-5=1\ \text{cm}, ambos coerentes com os dados.

R_1=4\ \text{cm} e R_2=2\ \text{cm}

Assunto: Equação do 2º grau.

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Questão 14 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗