Questão 14 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

Um cruzamento tem um semáforo com sensor de velocidade, sendo que a velocidade máxima permitida no local é de 60\text{ km/h}. Um veículo se aproxima do cruzamento e, em determinado instante em que está a 50 metros de distância do semáforo, se move com uma velocidade de 30\text{ km/h}. Para passar antes de o sinal ficar vermelho, o motorista acelera o veículo, com aceleração constante.

Calcule o tempo necessário para que o motorista percorra esses 50\text{ m} e passe pelo semáforo com a velocidade máxima permitida. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2009

2º semestre · 1º dia · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

Um cruzamento tem um semáforo com sensor de velocidade, sendo que a velocidade máxima permitida no local é de 60\text{ km/h}. Um veículo se aproxima do cruzamento e, em determinado instante em que está a 50 metros de distância do semáforo, se move com uma velocidade de 30\text{ km/h}. Para passar antes de o sinal ficar vermelho, o motorista acelera o veículo, com aceleração constante.

Calcule o tempo necessário para que o motorista percorra esses 50\text{ m} e passe pelo semáforo com a velocidade máxima permitida. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

As equações da velocidade e do espaço percorrido no movimento uniformemente acelerado são:

v=v_o+at \quad \text{e} \quad S=S_o+v_ot+\frac{a}{2}t^2

em que a é a aceleração, v_o é a velocidade inicial e S_o=0 é o espaço inicial.

A velocidade inicial é igual a v_o=\frac{25}{3}\text{ m/s}.

Como a velocidade máxima permitida é de 60\text{ km/h}, que equivale a \frac{50}{3}\text{ m/s}, substituindo na equação da velocidade acima obtém-se

\frac{50}{3}=\frac{25}{3}+at\Rightarrow at=\frac{25}{3}

Substituindo o valor de at e S = 50 na segunda equação, obtém-se

50=\frac{25}{3}t+\frac{25}{6}t\Rightarrow t=4\text{ segundos}

(5,0 pontos)

Critérios de correção:

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, realizou as conversões de unidades necessárias, utilizou as fórmulas de movimento retilíneo uniformemente variado para encontrar a aceleração ou o produto da aceleração pelo tempo e, em seguida, encontrar a resposta esperada. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Primeiro, converta as velocidades para m/s, dividindo por 3{,}6:

v_0 = 30\ \text{km/h} = \dfrac{25}{3}\ \text{m/s}
v = 60\ \text{km/h} = \dfrac{50}{3}\ \text{m/s}

Como a aceleração é constante, o movimento é uniformemente variado. Nesse movimento, a velocidade média é a média aritmética das velocidades inicial e final:

v_m = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{\frac{25}{3} + \frac{50}{3}}{2} = \frac{25}{2} = 12{,}5\ \text{m/s}

O deslocamento é \Delta s = 50\ \text{m}, então:

t = \frac{\Delta s}{v_m} = \frac{50}{12{,}5} = 4\ \text{s}

Conferindo com a aceleração: a = \dfrac{v - v_0}{t} = \dfrac{25/3}{4} = \dfrac{25}{12}\ \text{m/s}^2. Por Torricelli, v^2 - v_0^2 = 2a\Delta s dá \dfrac{2500-625}{9} = 2\cdot\dfrac{25}{12}\cdot 50 \approx 208{,}3, o que confere.

O tempo necessário é de 4\ \text{s}.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Unidades de medida e conversões.

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Questão 14 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 2º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗