Questão 7 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2008

Question

Para confeccionar uma página de internet para um cliente, um web designer dividiu a tela retangular de dimensões a e b, em quatro retângulos, conforme a figura abaixo.

Figura mostrando um retângulo de largura b (indicada na parte superior) e altura a (indicada na lateral direita), dividido internamente em quatro retângulos menores identificados por R1, R2, R3 e R4. Na faixa superior, de altura x, estão os retângulos R1 (à esquerda) e R2 (à direita, com largura y). Na faixa inferior estão os retângulos R3 (à esquerda, com largura y) e R4 (à direita).

Sabendo que os retângulos R_2 e R_3 ocupam, respectivamente, 6\% e 18\% da área total da tela, calcule a porcentagem da área ocupada pelo retângulo R_4 em relação à área total da tela. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2008

2º dia · Matemática: Porcentagem

Para confeccionar uma página de internet para um cliente, um web designer dividiu a tela retangular de dimensões a e b, em quatro retângulos, conforme a figura abaixo.

Figura mostrando um retângulo de largura b (indicada na parte superior) e altura a (indicada na lateral direita), dividido internamente em quatro retângulos menores identificados por R1, R2, R3 e R4. Na faixa superior, de altura x, estão os retângulos R1 (à esquerda) e R2 (à direita, com largura y). Na faixa inferior estão os retângulos R3 (à esquerda, com largura y) e R4 (à direita).

Sabendo que os retângulos R_2 e R_3 ocupam, respectivamente, 6\% e 18\% da área total da tela, calcule a porcentagem da área ocupada pelo retângulo R_4 em relação à área total da tela. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

De acordo com as dimensões mostradas na figura, as áreas A_2 e A_3 dos retângulos R_2 e R_3, respectivamente, são dadas por:

A_2 = xy \qquad \text{e} \qquad A_3 = (a - x)y

Como A_2 e A_3 representam 6\% e 18\%, respectivamente, da área total da tela A = ab , então:

x \cdot y = 0{,}06 \cdot ab

(a - x) \cdot y = 0{,}18 \cdot ab

Somando-se essas equações e substituindo-se as variáveis obtém-se:

x = 0{,}25 \cdot a \qquad \text{e} \qquad y = 0{,}24 \cdot b

Ainda de acordo com a figura, a área A_4 da região R_4 é dada por:

A_4 = (a - x)(b - y)

Logo, substituindo-se as expressões de x e y, obtém-se:

A_4 = (a - 0{,}25 \cdot a)(b - 0{,}24 \cdot b) = 0{,}75 \cdot 0{,}76 \cdot ab = 0{,}57 \cdot ab

Portanto, a porcentagem da área total da tela, ocupada pelo retângulo R_4, é:

P = 100 \cdot \frac{A_4}{A} = 100 \cdot \frac{0{,}57 \cdot ab}{ab} = 57\%

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a)

A área total da tela é ab. Pela figura, R_2 tem dimensões x e y, e R_3 tem dimensões y e a-x. Os dados do enunciado dão:

xy = 0{,}06\,ab
y(a-x) = 0{,}18\,ab

Somando as duas equações, o x se cancela:

xy + y(a-x) = ya = 0{,}24\,ab \Rightarrow y = 0{,}24\,b.

Substituindo y em (1):

x\cdot 0{,}24\,b = 0{,}06\,ab \Rightarrow x = \frac{a}{4} = 0{,}25\,a.

Logo a - x = 0{,}75\,a.

O retângulo R_4 tem largura b - y = 0{,}76\,b e altura a - x = 0{,}75\,a. Sua área é

A_{R_4} = 0{,}76\,b \cdot 0{,}75\,a = 0{,}57\,ab.

Conferindo com (2): 0{,}24\,b \cdot 0{,}75\,a = 0{,}18\,ab, que bate com o enunciado.

R_4 ocupa 57\% da área total da tela.

Assuntos: Porcentagem, Razão e proporção.

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Questão 7 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2008

Fonte: UFG 2ª etapa 2008 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗