Questão 16 (1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2008

Question

A teoria da cronologia do carbono, utilizada para determinar a idade de fósseis, baseia-se no fato de que o isótopo do carbono 14 (C-14) é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio e que a quantidade de C-14 na atmosfera é a mesma que está presente nos organismos vivos. Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, cessa, e a quantidade de C-14 presente no fóssil é dada pela função C(t) = C_0 10^{kt}, onde t é dado em anos a partir da morte do organismo, C_0 é a quantidade de C-14 para t = 0 e k é uma constante. Sabe-se que 5.600 anos após a morte, a quantidade de C-14 presente no organismo é a metade da quantidade inicial (quando t = 0).

No momento em que um fóssil foi descoberto, a quantidade de C-14 medida foi de \frac{C_0}{32}. Tendo em vista estas informações, calcule a idade do fóssil no momento em que ele foi descoberto.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2008

1º dia · Matemática: Função exponencial

A teoria da cronologia do carbono, utilizada para determinar a idade de fósseis, baseia-se no fato de que o isótopo do carbono 14 (C-14) é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio e que a quantidade de C-14 na atmosfera é a mesma que está presente nos organismos vivos. Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, cessa, e a quantidade de C-14 presente no fóssil é dada pela função C(t) = C_0 10^{kt}, onde t é dado em anos a partir da morte do organismo, C_0 é a quantidade de C-14 para t = 0 e k é uma constante. Sabe-se que 5.600 anos após a morte, a quantidade de C-14 presente no organismo é a metade da quantidade inicial (quando t = 0).

No momento em que um fóssil foi descoberto, a quantidade de C-14 medida foi de \frac{C_0}{32}. Tendo em vista estas informações, calcule a idade do fóssil no momento em que ele foi descoberto.

(5,0 pontos)

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Resposta esperada pela UFG

A quantidade de carbono presente no fóssil é dada por: C(t) = C_0 10^{kt}
De acordo com o enunciado, para t = 5600 anos, a quantidade de carbono é C_0/2, então:

\frac{C_0}{2} = C_0 10^{5600 \cdot k}

Resolvendo essa equação, obtém-se o valor da constante k:

k = \frac{-\log 2}{5600}

Se após um tempo t, a quantidade de carbono é C_0/32, então, usando-se o valor de k obtido acima, tem-se:

\frac{C_0}{32} = C_0 10^{\left(\frac{-\log 2}{5600}\right) \cdot t}

Resolvendo essa equação, obtém-se o valor de t:

\log\left(\frac{1}{32}\right) = \left(\frac{-\log 2}{5600}\right) \cdot t \quad \Leftrightarrow \quad -5\log 2 = \left(\frac{-\log 2}{5600}\right) \cdot t \quad \Leftrightarrow \quad t = 5 \cdot 5600 = 28000

Portanto, a idade do fóssil é de 28 mil anos.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Primeiro achamos a constante k com a meia-vida. Em t = 5\,600 anos, C = \frac{C_0}{2}:

C_0\,10^{5600k} = \frac{C_0}{2} \Rightarrow 10^{5600k} = 2^{-1}

Para o fóssil descoberto, C(t) = \frac{C_0}{32}:

10^{kt} = \frac{1}{32} = 2^{-5}

Não precisamos calcular k explicitamente (nem usar \log 2). Basta notar que 10^{kt} com t = 5\,600\,n pode ser escrito como:

10^{kt} = \left(10^{5600k}\right)^{n} = \left(2^{-1}\right)^{n} = 2^{-n}

Igualando a 2^{-5}, obtemos n = 5, ou seja, t = 5 \cdot 5\,600.

Outra forma de ver: t/5600 é o número de meias-vidas. Como \frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5, passaram-se 5 meias-vidas.

10^{5600k} = 2^{-1}
10^{kt} = 2^{-5} = \left(2^{-1}\right)^5 = \left(10^{5600k}\right)^5 = 10^{28000k}
Logo kt = 28\,000k e, como k \neq 0, t = 28\,000.

A idade do fóssil é 28.000 anos.

Assunto: Função exponencial.

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Questão 16 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2008

Fonte: UFG 2ª etapa 2008 · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗