Questão 12 (1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2008

Question

O papiro de Rhind, escrito pelos egípcios no século XVIII a.C., apresenta 87 problemas de matemática e suas soluções. No problema 50, calcula-se a área de um círculo da seguinte maneira: subtrai-se do diâmetro sua nona parte e eleva-se esta diferença ao quadrado; o resultado, para os egípcios, era a área do círculo.

De acordo com essas informações,

a) expresse a área do círculo em função de seu raio R, segundo o método egípcio;

(2,5 pontos)

b) considerando um círculo de raio 9 cm, calcule a diferença aproximada entre a área obtida pelo método egípcio e a área calculada pelo método correto.

(2,5 pontos)

Use \pi = 3{,}14

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2008

1º dia · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

O papiro de Rhind, escrito pelos egípcios no século XVIII a.C., apresenta 87 problemas de matemática e suas soluções. No problema 50, calcula-se a área de um círculo da seguinte maneira: subtrai-se do diâmetro sua nona parte e eleva-se esta diferença ao quadrado; o resultado, para os egípcios, era a área do círculo.

De acordo com essas informações,

a) expresse a área do círculo em função de seu raio R, segundo o método egípcio;

(2,5 pontos)

b) considerando um círculo de raio 9 cm, calcule a diferença aproximada entre a área obtida pelo método egípcio e a área calculada pelo método correto.

(2,5 pontos)

Use \pi = 3{,}14

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Denotando o raio do círculo por R, seu diâmetro é 2R . Logo, utilizando o método egípcio, a área do círculo A_E pode ser expressa por:

A_E = \left(2R - \frac{2R}{9}\right)^2 \quad \Rightarrow \quad A_E = \left(\frac{16 \cdot R}{9}\right)^2 \quad \Rightarrow \quad A_E = \frac{256}{81} \cdot R^2

(2,5pontos)

b) A área do círculo de 9\text{ cm} de raio, calculada pelo método egípcio, é:

A_E = \left(18 - \frac{18}{9}\right)^2 = 256\text{ cm}^2

Como o valor exato da área do círculo é A = \pi \cdot R^2, utilizando a aproximação de 3{,}14 para o valor de \pi, a área do mesmo círculo será dada, aproximadamente, por

A \cong 3{,}14 \cdot 9^2 = 254{,}34\text{ cm}^2

Portanto, a diferença D entre as duas áreas obtidas é:

D = A_E - A = 256 - 254{,}34 \quad \Rightarrow \quad D = 1{,}66\text{ cm}^2

(2,5 pontos)

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Resolução comentada

a) O diâmetro é D = 2R. Subtraindo sua nona parte:

D - \frac{D}{9} = \frac{8D}{9} = \frac{8\cdot 2R}{9} = \frac{16R}{9}

Pelo método egípcio, a área é o quadrado dessa diferença:

A_{egípcio} = \left(\frac{16R}{9}\right)^2 = \frac{256}{81}R^2

Note que isso equivale a usar \pi \approx \frac{256}{81} \approx 3{,}16 na fórmula \pi R^2.

A_{egípcio} = \dfrac{256}{81}R^2

b) Para R = 9\ \text{cm}:

Método egípcio: A_{egípcio} = \dfrac{256}{81}\cdot 81 = 256\ \text{cm}^2.
Método correto, com \pi = 3{,}14: A = 3{,}14\cdot 9^2 = 3{,}14\cdot 81 = 254{,}34\ \text{cm}^2.
Diferença: 256 - 254{,}34 = 1{,}66\ \text{cm}^2.

O método egípcio superestima a área em cerca de 1{,}66\ \text{cm}^2, ou seja, menos de 1\% do valor correto.

Diferença aproximada de 1{,}66\ \text{cm}^2 (o método egípcio dá 256\ \text{cm}^2 contra 254{,}34\ \text{cm}^2).

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Questão 12 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2008

Fonte: UFG 2ª etapa 2008 · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗