Questão 8 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2007

Question

A figura abaixo mostra uma circunferência de raio r = 3\ \text{cm}, inscrita num triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 18 cm.

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto no vértice C e circunferência inscrita nele, com segmento vertical traçado do centro até o ponto de tangência com o cateto CB.

a) Calcule o comprimento da circunferência que circunscreve o triângulo ABC. (1,5 pontos)

b) Calcule o perímetro do triângulo ABC. (3,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2007

2º dia · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

A figura abaixo mostra uma circunferência de raio r = 3\ \text{cm}, inscrita num triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 18 cm.

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto no vértice C e circunferência inscrita nele, com segmento vertical traçado do centro até o ponto de tangência com o cateto CB.

a) Calcule o comprimento da circunferência que circunscreve o triângulo ABC. (1,5 pontos)

b) Calcule o perímetro do triângulo ABC. (3,5 pontos)

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a) O raio da circunferência que circunscreve o triângulo ABC é a metade da hipotenusa.

Logo R = 9\text{ cm}. Desta forma, o comprimento da circunferência é 18\pi\text{ cm}. (1,5 pontos)

b) Observando a figura abaixo

[Figura: Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C. Uma circunferência de centro O está inscrita no triângulo, tangenciando os lados AC em E, BC em G e AB em D. Segmentos pontilhados ligam o centro O aos vértices A e B e aos pontos de tangência E, G e D.]

obtém-se as seguintes relações: \overline{AE} = \overline{AC} - 3 e \overline{BG} = \overline{BC} - 3.

O triângulo AEO é congruente ao triângulo ADO e o triângulo BGO é congruente ao triângulo BOD.

Usando-se estes fatos obtém-se que \overline{AD} = \overline{AC} - 3 e \overline{BD} = \overline{BC} - 3

Desta forma,

18 = \overline{BD} + \overline{AD} = \overline{AC} + \overline{BC} - 6 \Rightarrow \overline{AC} + \overline{BC} = 24.

Como \overline{AB} = 18, o perímetro do triângulo ABC é igual a 42\text{ cm}. (3,5 pontos)

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Resolução comentada

a) O triângulo ABC é retângulo em C, então ele está inscrito numa semicircunferência: a hipotenusa AB é um diâmetro da circunferência circunscrita.

Logo, 2R = 18\ \text{cm}, ou seja, R = 9\ \text{cm}.

O comprimento da circunferência é:

C = 2\pi R = 2\pi\cdot 9 = 18\pi\ \text{cm}

Comprimento: 18\pi\ \text{cm}

b) Use a propriedade das tangentes: os segmentos de tangentes traçados de um mesmo ponto externo à circunferência são iguais.

No vértice C, o ângulo é reto e os dois raios até os pontos de tangência são perpendiculares aos catetos. Então o quadrilátero formado por C, pelos dois pontos de tangência e pelo centro é um quadrado de lado r = 3. Assim, a tangente a partir de C mede 3 em cada cateto.

Sejam x e y as tangentes a partir de B e de A, respectivamente. A hipotenusa é dividida pelo ponto de tangência nesses dois segmentos:

x + y = 18

Os catetos medem:

CB = 3 + x,\qquad CA = 3 + y

Somando os catetos:

CA + CB = 6 + (x+y) = 6 + 18 = 24\ \text{cm}

O perímetro é:

P = 24 + 18 = 42\ \text{cm}

O triângulo existe: com a+b=24 e a^2+b^2=324, temos ab=126. A equação t^2-24t+126=0 tem discriminante 72>0, então há catetos reais.

Perímetro: 42\ \text{cm}

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 8 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2007

Fonte: UFG 2ª etapa 2007 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗

Nos cadernos: Grupo 1, questão 8Grupo 2, questão 16