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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2007

2º dia · Física: Energia mecânica e sua conservação

Uma bolinha de massa m é lançada, por uma mola horizontal de constante elástica k, em uma rampa lisa de ângulo de inclinação \theta com a horizontal que possui no topo uma curva de raio R, conforme figura abaixo.

Esquema tridimensional de uma bolinha sendo impulsionada por uma mola ao longo de uma rampa inclinada de ângulo θ, margeada por uma parede guia perpendicular à rampa, que realiza uma curva de raio R no topo e sai do ponto P a uma altura H, realizando trajetória parabólica até o ponto Q a uma distância D da base. À direita, diagrama de vista lateral mostrando a bolinha no ponto P e o ângulo θ, além de um quadro com: Considere: Aceleração gravitacional = g.

A bolinha move-se rente a uma parede lisa perpendicular à rampa e, ao fazer a curva, passa por P, que se encontra a uma altura H da base do plano, atingindo o ponto Q a uma distância D da vertical que passa por P. Nessas condições, calcule:

a) A deformação da mola. (2,5 pontos)

b) A força que a parede exerce sobre a bolinha no ponto mais alto da trajetória. (2,5 pontos)

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) A rampa e a parede são lisas, então a energia mecânica se conserva. Considero a mola na base da rampa, com a bolinha em h=0. A energia elástica vira energia cinética e potencial em P.

Primeiro preciso da velocidade em P. Em P a velocidade é horizontal, e dali a bolinha faz um lançamento horizontal de altura H até Q:

  1. Queda: H=\dfrac{g t^2}{2}\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}
  2. Alcance: D=v\,t\Rightarrow v=D\sqrt{\dfrac{g}{2H}}, ou seja, v^2=\dfrac{gD^2}{2H}

Conservação de energia entre a mola comprimida e o ponto P:

\frac{k x^2}{2}=\frac{m v^2}{2}+mgH\;\Rightarrow\; x^2=\frac{m}{k}\left(v^2+2gH\right)=\frac{m}{k}\cdot\frac{g\,(D^2+4H^2)}{2H}
x=\sqrt{\frac{m g\,(D^2+4H^2)}{2Hk}}

x=\sqrt{\dfrac{m g\,(D^2+4H^2)}{2Hk}}

b) O ponto mais alto da trajetória é P, onde a bolinha termina a curva com velocidade horizontal v. A curva de raio R está no plano da rampa. Em P, o centro da curva fica rampa abaixo, na direção de maior declive.

Forças nessa direção, apontando para o centro:

  • a força da parede F, que é perpendicular à parede e fica no plano da rampa;
  • a componente do peso ao longo da rampa, mg\,\sen\theta, que também aponta rampa abaixo.

A normal da rampa só equilibra mg\cos\theta, então não entra na direção radial. A resultante centrípeta é:

F+mg\,\sen\theta=\frac{m v^2}{R}=\frac{m g D^2}{2HR}
F=mg\left(\frac{D^2}{2HR}-\sen\theta\right)

A força é horizontal em relação ao plano da rampa, perpendicular à parede, e aponta para o centro da curva.

F=mg\left(\dfrac{D^2}{2HR}-\sen\theta\right)

Assuntos: Energia mecânica e sua conservação, Lançamento horizontal e oblíquo, Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta).

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Ver como caiu na prova Questão 9 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2007

Fonte: UFG 2ª etapa 2007 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗