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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 (2º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2007

2º dia · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

O desenho abaixo, construído na escala 1:7000, representa parte do bairro Água Branca em Goiânia. As ruas R. 1, R. 2 e R. 3 são paralelas à Av. Olinda. O comprimento da Av. B, da esquina com a Av. Olinda até a esquina com a Rua Dores do Indaya, é de 350 m.

Mapa esquemático de um trecho de bairro com quarteirões delimitados pela Avenida Olinda na base, a Avenida B na vertical e a Avenida C na transversal à esquerda. As ruas R. 1, R. 2, R. 3 e R. 4 são paralelas à Avenida Olinda, e a Rua Dores do Indaya cruza a Avenida B no topo. Na faixa entre a Avenida C e a Avenida B, estão indicados os seguintes comprimentos horizontais das quadras: 3,00 cm na Avenida Olinda, 2,25 cm na R. 1, 1,50 cm na R. 2 e 0,75 cm na R. 3.

Considerando-se que cada rua mede 7 m de largura, calcule quantos metros um pedestre caminhará na Av. B, partindo da esquina com Av. Olinda, até a esquina com a Rua R. 2, sem atravessá-las.

(5,0 pontos)

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Na escala 1:7000, cada centímetro do desenho corresponde a 70\ \text{m}. Assim, os segmentos indicados junto à Av. Olinda e à R. 2 medem, respectivamente,

3{,}00\cdot70=210\ \text{m}\quad\text{e}\quad1{,}50\cdot70=105\ \text{m}.

Como essas ruas são paralelas, elas formam, com as avenidas B e C, triângulos semelhantes, com vértice junto à Rua Dores do Indaya. Portanto, os comprimentos na Av. B são proporcionais aos segmentos indicados.

Seja x a distância, pela Av. B, da Rua Dores do Indaya até a borda da R. 2 em que está indicado o segmento de 1{,}50\ \text{cm}. Pelo teorema de Tales,

\frac{x}{350}=\frac{105}{210}=\frac12\quad\Rightarrow\quad x=175\ \text{m}.

Logo, da Av. Olinda até essa borda da R. 2, a distância também é 350-175=175\ \text{m}.

Entretanto, essa borda fica depois da travessia da R. 2 para quem vem da Av. Olinda. Para parar antes de atravessá-la, devemos descontar seus 7\ \text{m} de largura:

d=175-7=168\ \text{m}.

O pedestre caminhará 168\ \text{m}.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Escala.

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Ver como caiu na prova Questão 23 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2007

Fonte: UFG 2ª etapa 2007 · 2º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗