Questão 2 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2007

Resolução comentada

a) A primeira circunferência tem centro O(0,0) e raio \sqrt{10}. O ponto A(3,1) pertence a ela, pois 3^2+1^2=10. A segunda tem centro P(x_0,y_0) e raio 1.

Se duas circunferências são tangentes externas em A, os centros e o ponto de tangência são colineares, com A entre O e P. Além disso, PA = 1 (raio da segunda) e OA=\sqrt{10}. Então P está na reta OA, do lado de A oposto à origem, a distância 1 de A.

1. A direção de O para A é dada pelo vetor \overrightarrow{OA}=(3,1), de módulo \sqrt{10}. O vetor unitário nessa direção é \left(\dfrac{3}{\sqrt{10}},\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right).
2. Portanto:
   
   P = A + 1\cdot\left(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)=\left(3+\frac{3}{\sqrt{10}},\;1+\frac{1}{\sqrt{10}}\right).
3. Racionalizando: \dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10} e \dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}.

Conferência: OP = \sqrt{10}\left(1+\frac1{\sqrt{10}}\right)=\sqrt{10}+1, que é a soma dos raios, como deve ser na tangência externa.

Assuntos: Equação da circunferência, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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