Questão 19 (2º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2007

Question

A figura abaixo representa uma quadra retangular inscrita num terreno semicircular cujo raio mede 10 m.

Semicírculo com a base apoiada na horizontal e um retângulo inscrito apoiado no diâmetro. Do ponto central da base do semicírculo parte um segmento de reta até o vértice superior direito do retângulo, formando um ângulo indicado por θ com a base à direita.

Nessas condições,

a) expresse a área da quadra em função do ângulo \theta; (2,0 pontos)

b) determine as dimensões da quadra que possui área máxima. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (2º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2007

2º dia · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

A figura abaixo representa uma quadra retangular inscrita num terreno semicircular cujo raio mede 10 m.

Semicírculo com a base apoiada na horizontal e um retângulo inscrito apoiado no diâmetro. Do ponto central da base do semicírculo parte um segmento de reta até o vértice superior direito do retângulo, formando um ângulo indicado por θ com a base à direita.

Nessas condições,

a) expresse a área da quadra em função do ângulo \theta; (2,0 pontos)

b) determine as dimensões da quadra que possui área máxima. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Denotando por \overline{OA} = x e \overline{AB} = y, na figura dada, obtém-se A = 2\,x\,y.

[Figura: semicírculo de centro O apoiado na base horizontal, contendo um retângulo inscrito simetricamente em relação ao centro. O vértice inferior direito do retângulo é denotado por A sobre a base horizontal, e o vértice superior direito é B sobre a semicircunferência. O segmento tracejado ou contínuo liga O a B, formando um ângulo \theta com a base horizontal \overline{OA}. O segmento vertical \overline{AB} liga A a B.]

Como x = 10\cos\theta e y = 10\sen\theta, a área da quadra é dada por

A = 2\cdot 100\sen\theta\cos\theta = 100\sen 2\theta

(2,0 pontos)

b) A área da quadra será máxima quando o ângulo \theta for igual a 45^\circ. Desta forma,

x = 10\cos 45 = 10\dfrac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} e y = 10\sen 45 = 10\dfrac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}.

Portanto, as dimensões da quadra são:
2x = 10\sqrt{2} \cong 14{,}14\text{ m} e y = 5\sqrt{2} \cong 7{,}07\text{ m}. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

a) O segmento do centro ao vértice superior direito do retângulo é um raio da semicircunferência, logo mede 10\ \text{m}. Ele forma o ângulo \theta com a base.

No triângulo retângulo formado pelo raio, pela altura do retângulo e pela metade da base:

altura: h = 10\,\sen\theta
metade da base: 10\cos\theta, então a base inteira é b = 20\cos\theta (o retângulo é simétrico em relação ao centro).

A área é

A = b\cdot h = 20\cos\theta\cdot 10\,\sen\theta = 200\,\sen\theta\cos\theta.

Usando \sen 2\theta = 2\,\sen\theta\cos\theta:

A(\theta) = 100\,\sen 2\theta\ \text{m}^2,\quad 0<\theta<\tfrac{\pi}{2}.

A(\theta)=200\,\sen\theta\cos\theta = 100\,\sen 2\theta\ \text{m}^2

b) A área 100\,\sen2\theta é máxima quando \sen 2\theta = 1, ou seja, 2\theta = 90^\circ, logo \theta = 45^\circ (que está no intervalo 0<\theta<90^\circ). A área máxima é 100\ \text{m}^2.

Para \theta = 45^\circ, \sen\theta=\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}:

Base: b = 20\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = 10\sqrt2\ \text{m}.
Altura: h = 10\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = 5\sqrt2\ \text{m}.

Conferindo: 10\sqrt2\cdot5\sqrt2 = 50\cdot 2 = 100\ \text{m}^2. ✓

A quadra de área máxima tem base 10\sqrt2\ \text{m}\approx 14{,}1\ \text{m} e altura 5\sqrt2\ \text{m}\approx 7{,}1\ \text{m} (área de 100\ \text{m}^2).

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 19 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2007

Fonte: UFG 2ª etapa 2007 · 2º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗