Questão 2 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2006

Question

Considere as funções f(x) = mx + 3 e g(x) = x^2 - 2x + 2, onde m \text{ }\in \mathbb{R}. Determine condições sobre m para que a equação f(g(x)) = 0 tenha raiz real. (5,0 pontos)

Answer 1

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Questão 2 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2006

2º dia · Matemática: Equação do 2º grau

Considere as funções f(x) = mx + 3 e g(x) = x^2 - 2x + 2, onde m \text{ }\in \mathbb{R}. Determine condições sobre m para que a equação f(g(x)) = 0 tenha raiz real. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Como f(g(x)) = m\cdot g(x) + 3, a equação fica:

m(x^2 - 2x + 2) + 3 = 0 \iff mx^2 - 2mx + (2m+3) = 0.

Caso m = 0: a equação vira 3 = 0, que é impossível. Não há raiz.

Caso m \neq 0: temos uma equação do 2º grau, e ela tem raiz real se \Delta \geq 0.

\Delta = (-2m)^2 - 4m(2m+3) = 4m^2 - 8m^2 - 12m = -4m^2 - 12m.

Impondo \Delta \ge 0:

-4m(m+3) \geq 0 \iff m(m+3) \leq 0 \iff -3 \leq m \leq 0.

Excluindo m = 0, que já foi descartado, sobra -3 \le m < 0.

Conferência: g(x) = (x-1)^2 + 1 \geq 1. A equação equivale a g(x) = -3/m, que só tem solução se -3/m \geq 1. Isso exige m<0 e, multiplicando por m (negativo, o que inverte a desigualdade), -3 \leq m. O resultado é o mesmo.

Resposta: a equação tem raiz real se, e somente se, -3 \leq m < 0.

Assuntos: Equação do 2º grau, Conceito de função, composta e inversa.

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Questão 2 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2006

Fonte: UFG 2ª etapa 2006 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗

Nos cadernos: Grupo 1, questão 2Grupo 2, questão 18