Questão 3 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2006

Resolução comentada

Se p(x) é divisível por x^2+2, o quociente tem grau 1, ou seja, p(x)=(x^2+2)(ax+b).

Desenvolvendo o produto:

Agora igualamos os coeficientes de p(x)=kx^3+(k+1)x^2+2kx+6:

1. x^3: a=k
2. x^2: b=k+1
3. x^1: 2a=2k, que é satisfeita por a=k
4. termo independente: 2b=6, logo b=3

De b=k+1=3 segue k=2.

Conferindo: com k=2, p(x)=2x^3+3x^2+4x+6=(x^2+2)(2x+3). O resto é zero, então a divisão é exata.

Outra forma de ver: as raízes de x^2+2 são \pm i\sqrt2, e ambas devem anular p. Isso leva à mesma condição k=2.

k=2

Assuntos: Polinômios, Equações do 1º grau e problemas.

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