Questão 19 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2006

Resolução comentada

a) Pela definição, f(x)=y quando \left(\tfrac12\right)^y = 2x. Como a base \tfrac12 está entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente. O domínio é x>0, e a reta x=0 (eixo y) é assíntota vertical.\n\nPodemos simplificar escrevendo f(x)=-\log_2(2x)=-1-\log_2 x. Isso mostra que o gráfico é o de \log_2 x refletido no eixo x e deslocado 1 unidade para baixo.\n\nVamos marcar alguns pontos, que podem ser verificados por \left(\tfrac12\right)^y=2x:\n\n1. x=\tfrac18: 2x=\tfrac14, logo f=2.\n2. x=\tfrac14: 2x=\tfrac12, logo f=1.\n3. x=\tfrac12: 2x=1, logo f=0. É a única raiz, e o gráfico corta o eixo x em \left(\tfrac12,0\right).\n4. x=1: 2x=2, logo f=-1.\n5. x=2: 2x=4, logo f=-2.\n\nO esboço é, então, uma curva decrescente que vem de +\infty colada ao eixo y (para x próximo de 0), passa por \left(\tfrac12,0\right), (1,-1) e (2,-2) e continua descendo lentamente. Ela fica acima do eixo x para 0<x<\tfrac12 e abaixo dele para x>\tfrac12.\n\nGráfico decrescente, com assíntota em x=0, passando por \left(\tfrac12,0\right), (1,-1) e (2,-2).\n\nb) Calculamos cada logaritmo pela definição.\n\nSeja y=\log_2\left(\tfrac12\right). Então 2^y=\tfrac12=2^{-1}, e como a função exponencial é injetora, y=-1.\n\nSeja z=\log_{1/2}2. Então \left(\tfrac12\right)^z=2. Como \left(\tfrac12\right)^z=2^{-z}, temos 2^{-z}=2^1, logo -z=1 e z=-1.\n\nPortanto \log_2\left(\tfrac12\right)=-1=\log_{1/2}2.\n\n**\log_2\left(\tfrac12\right)=\log_{1/2}2=-1, como queríamos mostrar.**

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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