Questão 20 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2006

Question

O chapéu mexicano, representado na figura, gira com velocidade angular constante. Cada assento é preso por quatro correntes, que formam com a vertical um ângulo de 30^\circ. As correntes estão presas à borda do círculo superior, cujo diâmetro é de 6{,}24\text{ m}, enquanto o comprimento das correntes é de 6\text{ m}. A massa de cada criança é de 34\text{ kg}, sendo desprezíveis as massas dos assentos e das correntes.

Desenho de um brinquedo chapéu mexicano com correntes inclinadas sustentando assentos suspensos com crianças

Dados: g = 10\text{ m/s}^2, \sqrt{3} = 1{,}7

Calcule:

a) a velocidade delas ao longo da trajetória circular; (3,0 pontos)

b) a tensão em cada corrente. (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2006

2º dia · Física: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta)

O chapéu mexicano, representado na figura, gira com velocidade angular constante. Cada assento é preso por quatro correntes, que formam com a vertical um ângulo de 30^\circ. As correntes estão presas à borda do círculo superior, cujo diâmetro é de 6{,}24\text{ m}, enquanto o comprimento das correntes é de 6\text{ m}. A massa de cada criança é de 34\text{ kg}, sendo desprezíveis as massas dos assentos e das correntes.

Desenho de um brinquedo chapéu mexicano com correntes inclinadas sustentando assentos suspensos com crianças

Dados: g = 10\text{ m/s}^2, \sqrt{3} = 1{,}7

Calcule:

a) a velocidade delas ao longo da trajetória circular; (3,0 pontos)

b) a tensão em cada corrente. (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Velocidade delas ao longo da trajetória circular: (3,0 pontos)

[Figura: Esquema geométrico e diagrama de forças da cadeira suspensa por correntes de comprimento l formando um ângulo \theta com a vertical, fixadas a uma distância r do eixo de rotação central. As forças indicadas são a tração resultante das correntes 4T direcionada ao longo das correntes e a força peso mg apontando verticalmente para baixo.]

4T\cos\theta = mg \quad ; \quad 4T\sen\theta = \frac{mv^2}{r + l\sen\theta} \implies \tg\theta = \frac{v^2}{g(r + l\sen\theta)} \quad ; \quad r = \frac{d}{2} = 3{,}12\text{ m}

v^2 = g(r + l\sen\theta)\tg\theta = 10(3{,}12 + 6 \cdot 0{,}5)\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{61{,}2}{1{,}7} = 36 \implies \boxed{v = 6\text{ m/s}}

b) Tensão em cada corrente:

T = \frac{mg}{4\cos\theta} = \frac{34 \cdot 10}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{170}{1{,}7} = 100\text{ N} \implies \boxed{T = 100\text{ N}}

(2,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Cada criança descreve uma circunferência horizontal. O raio dela é a distância do eixo até o assento. A corrente está presa à borda do círculo superior, de raio 3{,}12\ \text{m} (metade de 6{,}24\ \text{m}), e se abre para fora ao descer, formando 30^\circ com a vertical. Assim, o assento fica afastado da borda, na horizontal, de

6\,\sen 30^\circ = 3\ \text{m}

O raio da trajetória é então

R = 3{,}12 + 3 = 6{,}12\ \text{m}

As forças sobre a criança são o peso mg (vertical) e a tração total T_{tot} das correntes (na direção das correntes). Na vertical não há aceleração, então T_{tot}\cos30^\circ = mg. Na horizontal, a componente T_{tot}\sen30^\circ é a resultante centrípeta, m v^2/R. Dividindo uma equação pela outra:

\tg 30^\circ = \frac{v^2}{gR}

v^2 = gR\,\tg30^\circ = 10\cdot 6{,}12\cdot\frac{1{,}7}{3} \approx 34{,}7\ \text{m}^2/\text{s}^2

v \approx 5{,}9\ \text{m/s}

Velocidade \approx 5{,}9\ \text{m/s} (cerca de 21\ \text{km/h}).

b) Na vertical, as quatro correntes sustentam o peso da criança:

4T\cos30^\circ = mg

Com \cos30^\circ = \sqrt{3}/2 = 0{,}85:

T = \frac{34\cdot 10}{4\cdot 0{,}85} = \frac{340}{3{,}4} = 100\ \text{N}

Tensão em cada corrente: T = 100\ \text{N}.

Assunto: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta).

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Questão 20 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2006

Fonte: UFG 2ª etapa 2006 · 2º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗