Questão 18 (2º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2006

Question

A figura abaixo é o esboço de uma pista de atletismo, com cinco raias de 60 cm de largura cada. As raias são delimitadas por retas e semicircunferências concêntricas, sendo que a raia mais interna circunscreve um campo de futebol de 70 m por 100 m.

Esboço de uma pista de atletismo com cinco raias contornando um retângulo central de 100 m por 70 m, delimitadas por trechos retos paralelos e semicircunferências concêntricas nas extremidades.

A pista será revestida com material para amortecimento de impactos que custa R$ 15,00 o \text{m}^2. Qual é, aproximadamente, o valor a ser gasto com o material de revestimento da pista? (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (2º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2006

2º dia · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

A figura abaixo é o esboço de uma pista de atletismo, com cinco raias de 60 cm de largura cada. As raias são delimitadas por retas e semicircunferências concêntricas, sendo que a raia mais interna circunscreve um campo de futebol de 70 m por 100 m.

Esboço de uma pista de atletismo com cinco raias contornando um retângulo central de 100 m por 70 m, delimitadas por trechos retos paralelos e semicircunferências concêntricas nas extremidades.

A pista será revestida com material para amortecimento de impactos que custa R$ 15,00 o \text{m}^2. Qual é, aproximadamente, o valor a ser gasto com o material de revestimento da pista? (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

A pista pode ser dividida em duas regiões semicirculares e duas regiões retangulares.

[Figura: Esquema de uma das duas regiões semicirculares na forma de uma coroa semicircular sombreada com diâmetro interno de 70 m e largura de 3 m em ambas as extremidades, e uma das duas regiões retangulares sombreadas com comprimento de 100 m e largura de 3 m.]

A área a ser revestida é \text{A} = 2\left(\dfrac{\pi 38^2}{2} - \dfrac{\pi 35^2}{2}\right) + 2 \cdot (100 \cdot 3) = \pi(38^2 - 35^2) + 600 = 219\pi + 600\text{ m}^2.

Como o custo do material de revestimento é de R$ 15,00 por metro quadrado, então o custo total do material de revestimento é:
\text{C} = 15 \cdot (219\pi + 600) = (3285\pi + 9000)\text{ reais}, ou aproximadamente \text{C} \cong 19.315\text{ reais}. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) A pista é a região entre a borda interna da raia 1, que contorna o campo, e a borda externa da raia 5.

As cinco raias de 0{,}6\ \text{m} somam 5\cdot 0{,}6 = 3\ \text{m} de largura.

Contorno interno. Ele é formado por dois trechos retos de 100\ \text{m} e duas semicircunferências de diâmetro 70\ \text{m}, ou seja, raio 35\ \text{m}. A região limitada por ele tem um retângulo 100\times 70 e um círculo de raio 35 (as duas semicircunferências juntas):

A_{int} = 100\cdot 70 + \pi\cdot 35^2 = 7000 + 1225\pi

Contorno externo. Os trechos retos continuam com 100\ \text{m} e o raio das semicircunferências passa a 35+3=38\ \text{m}. O retângulo tem largura 70+2\cdot 3 = 76\ \text{m}:

A_{ext} = 100\cdot 76 + \pi\cdot 38^2 = 7600 + 1444\pi

Área da pista:

A = A_{ext}-A_{int} = 600 + 219\pi

Com \pi \approx 3{,}14:

A \approx 600 + 687{,}66 = 1287{,}66\ \text{m}^2

Custo:

1287{,}66\cdot 15 \approx 19\,315

O gasto é de aproximadamente R$ 19.300,00 (cerca de R$ 19.315,00).

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 18 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2006

Fonte: UFG 2ª etapa 2006 · 2º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗