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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 (2º dia · Grupo 4) da 2ª etapa da UFG 2005

2º dia · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Uma pista retangular para caminhada mede 100 por 250 metros. Deseja-se marcar um ponto P, conforme figura abaixo, de modo que o comprimento do percurso ABPA seja a metade do comprimento total da pista. Calcule a distância entre os pontos B e P. (5,0 pontos)

Retângulo representando a pista com largura de 100 m e comprimento de 250 m. O vértice inferior esquerdo é A e o superior esquerdo é B. Um ponto P está marcado sobre o lado superior, com um segmento de reta ligando o vértice A ao ponto P.

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a) O perímetro da pista é 2(100+250)=700\ \text{m}, então o percurso ABPA deve medir 350\ \text{m}.

Chame BP=x. O triângulo ABP é retângulo em B, com AB=100. Pelo teorema de Pitágoras, AP=\sqrt{100^2+x^2}.

A condição do percurso fica:

100+x+\sqrt{10000+x^2}=350 \;\Rightarrow\; \sqrt{10000+x^2}=250-x

Elevando os dois lados ao quadrado (com 250-x\ge 0):

  1. 10000+x^2=62500-500x+x^2
  2. 500x=52500
  3. x=105

Conferindo: AP=\sqrt{10000+11025}=\sqrt{21025}=145=250-105. Então 100+105+145=350, como pedido. Além disso, 105<250, logo P está de fato sobre o lado superior.

A distância entre B e P é 105 m.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Equação do 2º grau.

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Ver como caiu na prova Questão 23 no caderno Grupo 4 da 2ª etapa da UFG 2005

Fonte: UFG 2ª etapa 2005 · 2º dia · Grupo 4. Prova oficial ↗