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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 22 (2º dia · Grupos 3 e 5) da 2ª etapa da UFG 2004

2º dia · Matemática: Função modular

Considere as funções f(x) = \left|x - \left(1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^n}\right)\right| e g(x) = \left|x - \left(1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^{n+1}}\right)\right| definidas para todo número real x, onde n é um número natural. Calcule a área do triângulo determinado pelos gráficos de f e g e pelo eixo da coordenada x. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) Os termos entre parênteses são somas parciais de uma PG de razão \frac12 e primeiro termo 1:

a = 1+\frac12+\dots+\frac1{2^n}=\frac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\frac12}=2-\frac1{2^n}
b = 1+\frac12+\dots+\frac1{2^{n+1}}=2-\frac1{2^{n+1}}

Assim f(x)=|x-a| e g(x)=|x-b|, com b-a=\frac1{2^n}-\frac1{2^{n+1}}=\frac1{2^{n+1}}.

Cada gráfico é um "V" com vértice no eixo x, em (a,0) e em (b,0) respectivamente. Como a<b, os dois V's se cruzam num único ponto, entre os vértices, onde o ramo crescente de f encontra o ramo decrescente de g:

x-a=b-x \Rightarrow x=\frac{a+b}{2}, \qquad y=x-a=\frac{b-a}{2}=\frac1{2^{n+2}}

O triângulo tem vértices (a,0), (b,0) e \left(\frac{a+b}2,\frac1{2^{n+2}}\right). A base é b-a=\frac1{2^{n+1}} e a altura é \frac1{2^{n+2}}. Portanto:

A=\frac12\cdot\frac1{2^{n+1}}\cdot\frac1{2^{n+2}}=\frac1{2^{2n+4}}

Área =\dfrac{1}{2^{2n+4}}

Assuntos: Função modular, Progressão geométrica.

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Ver como caiu na prova Questão 22 no caderno Grupos 3 e 5 da 2ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2ª etapa 2004 · 2º dia · Grupos 3 e 5. Prova oficial ↗