Questão 2 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

Question

Uma empresa divulga seus produtos distribuindo um jogo cujas peças são semelhantes às de um jogo de dominó. Em cada peça desse jogo há sempre dois produtos, que podem ser iguais. A ordem em que os produtos aparecem na peça não importa, conforme a figura abaixo.

Peça de dominó dividida em duas metades com as inscrições PRODUTO A e PRODUTO B Sinal de igualdade seguido de peça de dominó com as inscrições PRODUTO B e PRODUTO A

Nessas condições,

a) determine uma função que relacione a quantidade de peças desse jogo em função da quantidade de produtos a serem anunciados; (2,5 pontos)

b) é possível obter um jogo com 66 peças? Justifique sua resposta. (2,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

2º dia · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Uma empresa divulga seus produtos distribuindo um jogo cujas peças são semelhantes às de um jogo de dominó. Em cada peça desse jogo há sempre dois produtos, que podem ser iguais. A ordem em que os produtos aparecem na peça não importa, conforme a figura abaixo.

Peça de dominó dividida em duas metades com as inscrições PRODUTO A e PRODUTO B Sinal de igualdade seguido de peça de dominó com as inscrições PRODUTO B e PRODUTO A

Nessas condições,

a) determine uma função que relacione a quantidade de peças desse jogo em função da quantidade de produtos a serem anunciados; (2,5 pontos)

b) é possível obter um jogo com 66 peças? Justifique sua resposta. (2,5 pontos)

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Resolução comentada

a) Com n produtos, cada peça é um par não ordenado de produtos, que podem ser iguais. Contamos em dois grupos:

Peças com dois produtos diferentes: a ordem não importa, então são \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}.
Peças com dois produtos iguais: uma para cada produto, ou seja, n peças.

Somando:

P(n)=\frac{n(n-1)}{2}+n=\frac{n^2-n+2n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}

Essa conta equivale a \binom{n+1}{2}, o mesmo resultado do dominó tradicional (para n=7 números, de 0 a 6, dá 28 peças).

P(n)=\dfrac{n(n+1)}{2}, com n natural.

b) Basta ver se existe n natural com P(n)=66:

\frac{n(n+1)}{2}=66 \Rightarrow n^2+n-132=0

O discriminante é \Delta=1+528=529=23^2, então:

n=\frac{-1\pm 23}{2}

As raízes são n=11 e n=-12. Como n é uma quantidade de produtos, só serve n=11.

Conferindo: \dfrac{11\cdot 12}{2}=66. ✔

Sim, é possível: um jogo com 11 produtos tem exatamente 66 peças.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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Questão 2 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2ª etapa 2004 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗