Questão 1 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

Resolução comentada

a) Pela propriedade do enunciado, entre todos os cilindros de mesmo volume o de menor área total é o equilátero. Como o custo de produção cresce com a quantidade de material, ou seja, com a área total, a embalagem de menor custo é o cilindro equilátero de 400\ \text{ml}.

Lembre que 1\ \text{ml} = 1\ \text{cm}^3, então V = 400\ \text{cm}^3.

Se r é o raio da base, o cilindro equilátero tem altura h = 2r. Assim:

1. V = \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3
2. 2\pi r^3 = 400 \Rightarrow r^3 = \dfrac{200}{\pi} \approx \dfrac{200}{3{,}14} \approx 63{,}7
3. Como 4^3 = 64 é muito próximo de 63{,}7, temos r \approx 3{,}99\ \text{cm} \approx 4\ \text{cm}.
4. h = 2r \approx 8\ \text{cm}, que também é o diâmetro da base.

Conferindo: \pi \cdot 4^2 \cdot 8 = 128\pi \approx 402\ \text{cm}^3, valor compatível com 400\ \text{ml}.

A embalagem deve ter raio da base de cerca de 4\ \text{cm} e altura de cerca de 8\ \text{cm}.

Resposta: raio \approx 4\ \text{cm} (diâmetro \approx 8\ \text{cm}) e altura \approx 8\ \text{cm}.

Assuntos: Cilindro, Unidades de medida e conversões.

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